tercice 5. Soit $$ n \in \mathbb{N}^{*} $$. On définit la relation $$ \mathcal{R} $$ sur $$ \mathbb{C} $$ par: $$ z \mathcal{R} z^{\prime} \Leftrightarrow z^{n}=z^{\prime n} $$ Montrer que $$ \mathcal{R} $$ est une relation d'équivalence. Soit $$ \mathrm{a} \in \mathbb{C}^{*} $$. Déterminer la classe d'équivalence de a note $$ \mathrm{cl}(\mathrm{a}) $$. En déduire les classes $$ \mathrm{cl}(1+\mathrm{i}) $$ et $$ \mathrm{cl}(-1+i \sqrt{3}) $$ pour $$ \mathrm{n}=3 $$ et $$ \mathrm{n}=4 $$.

Question

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Pour montrer que $$ \mathcal{R} $$ est une relation d'équivalence, vérifions réflexivité, symétrie et transitivité. La classe d'équivalence de $$ a \in \mathbb{C}^* $$ est $$ \mathrm{cl}(a) = \{ z \in \mathbb{C} \mid z^n = a^n \} $$. Pour $$ n=3 $$ et $$ n=4 $$, calculons les racines des puissances de $$ 1+i $$ et $$ -1+i\sqrt{3} $$.

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