Exercice 4 page 124 4 VRAI/FAUX Indiquer si les affirmations sont vraies ou fausses, puis justifier. On considère la suite \( \left(w_{n}\right) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par \( w_{n}=(-1)^{n} \). Alors : \( \begin{array}{l}\text { a. pour tout } n \in \mathbb{N}, w_{n} \leqslant 0 ; \quad \text { b. }\left(w_{n}\right) \text { est une suite décroissante. }\end{array} \)

Analysons les affirmations une par une. 1. **Affirmation a** : Pour tout \( n \in \mathbb{N}, w_{n} \leqslant 0 \). La suite \( w_n = (-1)^n \) prend les valeurs suivantes : - Pour \( n = 0 \), \( w_0 = (-1)^0 = 1 \) (donc \( w_0 > 0 \)). - Pour \( n = 1 \), \( w_1 = (-1)^1 = -1 \) (donc \( w_1 < 0 \)). - Pour \( n = 2 \), \( w_2 = (-1)^2 = 1 \) (donc \( w_2 > 0 \)). - Pour \( n = 3 \), \( w_3 = (-1)^3 = -1 \) (donc \( w_3 < 0 \)). - Et ainsi de suite. On observe que \( w_n \) prend alternativement les valeurs \( 1 \) et \( -1 \). Par conséquent, il existe des valeurs de \( n \) pour lesquelles \( w_n > 0 \) (par exemple, pour \( n = 0 \) et \( n = 2 \)). **Conclusion** : L'affirmation a est **FAUSSE**. 2. **Affirmation b** : \( (w_n) \) est une suite décroissante. Pour qu'une suite soit décroissante, il faut que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( w_{n+1} \leq w_n \). Analysons les valeurs de la suite : - \( w_0 = 1 \) - \( w_1 = -1 \) - \( w_2 = 1 \) - \( w_3 = -1 \) On voit que : - \( w_1 < w_0 \) (donc ça va dans le sens d'être décroissant). - \( w_2 > w_1 \) (ce qui contredit l'idée de décroissance). - \( w_3 < w_2 \) (ce qui va dans le sens d'être décroissant). Comme la suite alterne entre \( 1 \) et \( -1 \), elle ne peut pas être considérée comme décroissante, car il y a des valeurs qui augmentent. **Conclusion** : L'affirmation b est **FAUSSE**. En résumé : - a. FAUX - b. FAUX