Ejercicios como tarea de evaluación. Ejercicio 1. Dada la función \( f(x)=-2 x+3 \), determina el área que se encuentra entre la recta y el eje \( x \), en el intervalo \( [0,4] \) y graficar.

Para determinar el área entre la recta \( f(x) = -2x + 3 \) y el eje \( x \) en el intervalo \( [0,4] \), primero necesitamos encontrar el área bajo la curva de la función en ese intervalo. El área bajo la curva de una función \( f(x) \) en un intervalo \( [a,b] \) se puede calcular utilizando la fórmula: \[ \text{Área} = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] En este caso, la función es \( f(x) = -2x + 3 \) y el intervalo es \( [0,4] \). Entonces, el área que se encuentra entre la recta y el eje \( x \) en el intervalo \( [0,4] \) se puede calcular de la siguiente manera: \[ \text{Área} = \int_{0}^{4} (-2x + 3) \, dx \] Ahora, vamos a calcular esta integral. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{0}^{4} -2x+3 dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int -2x+3 dx\) - step2: Use properties of integrals: \(-\int 2x dx+\int 3 dx\) - step3: Evaluate the integral: \(-x^{2}+3x\) - step4: Return the limits: \(\left(-x^{2}+3x\right)\bigg |_{0}^{4}\) - step5: Calculate the value: \(-4\) El área entre la recta \( f(x) = -2x + 3 \) y el eje \( x \) en el intervalo \( [0,4] \) es de 4 unidades cuadradas. Para graficar la función y el área calculado, podemos utilizar una gráfica de función. La función \( f(x) = -2x + 3 \) es una recta con pendiente -2 y intercepto en el eje \( y \) de 3. El área calculado se encuentra entre la recta y el eje \( x \) en el intervalo \( [0,4] \). Si necesitas ayuda para graficar la función o el área, no dudes en preguntar.