Bob Pritchard
01/27/2023 · High School
Resuelva la siguiente ecuación sin omitir ningún detalle. (por el método de variables separables. \[ \begin{array}{c}\frac{d y}{d x}=\frac{x^{4} y-2 x^{4}}{1-x^{5}} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{x y^{2}-2 y^{2}}{x^{3}} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{x y^{2}-3 y^{2}}{x^{2}}\end{array} \]
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Step-by-step Solution
Vamos a resolver cada una de las ecuaciones diferenciales utilizando el método de variables separables.
### 1. Ecuación:
\[
\frac{d y}{d x} = \frac{x^{4} y - 2 x^{4}}{1 - x^{5}}
\]
Primero, separamos las variables. Reescribimos la ecuación:
\[
\frac{d y}{d x} = \frac{x^{4}(y - 2)}{1 - x^{5}}
\]
Ahora, separamos las variables:
\[
\frac{d y}{y - 2} = \frac{x^{4}}{1 - x^{5}} \, dx
\]
Integramos ambos lados:
\[
\int \frac{1}{y - 2} \, dy = \int \frac{x^{4}}{1 - x^{5}} \, dx
\]
La integral del lado izquierdo es:
\[
\ln |y - 2| + C_1
\]
Para la integral del lado derecho, hacemos un cambio de variable. Sea \( u = 1 - x^{5} \), entonces \( du = -5x^{4} \, dx \) o \( dx = -\frac{du}{5x^{4}} \). Sustituyendo:
\[
\int \frac{x^{4}}{1 - x^{5}} \, dx = -\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} \, du = -\frac{1}{5} \ln |u| + C_2 = -\frac{1}{5} \ln |1 - x^{5}| + C_2
\]
Igualando las integrales:
\[
\ln |y - 2| = -\frac{1}{5} \ln |1 - x^{5}| + C
\]
Despejamos \( y \):
\[
|y - 2| = e^{C} |1 - x^{5}|^{-1/5}
\]
Finalmente, podemos escribir la solución general como:
\[
y = 2 + C' |1 - x^{5}|^{-1/5}
\]
donde \( C' = e^{C} \).
### 2. Ecuación:
\[
\frac{d y}{d x} = \frac{x y^{2} - 2 y^{2}}{x^{3}}
\]
Factorizamos el numerador:
\[
\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}(x - 2)}{x^{3}}
\]
Separando las variables:
\[
\frac{d y}{y^{2}} = \frac{x - 2}{x^{3}} \, dx
\]
Integramos ambos lados:
\[
\int \frac{1}{y^{2}} \, dy = \int \frac{x - 2}{x^{3}} \, dx
\]
La integral del lado izquierdo es:
\[
-\frac{1}{y} + C_1
\]
Para el lado derecho, descomponemos la fracción:
\[
\frac{x - 2}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}
\]
Entonces:
\[
\int \left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} \right) \, dx = -\frac{1}{x} + \frac{2}{2x^{2}} + C_2 = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + C_2
\]
Igualando las integrales:
\[
-\frac{1}{y} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + C
\]
Despejamos \( y \):
\[
y = \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} - C} = \frac{x^{2}}{1 - x - Cx^{2}}
\]
### 3. Ecuación:
\[
\frac{d y}{d x} = \frac{x y^{2} - 3 y^{2}}{x^{2}}
\]
Factorizamos el numerador:
\[
\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}(x - 3)}{x^{2}}
\]
Separando las variables:
\[
\frac{d y}{y^{2}} = \frac{x - 3}{x^{2}} \, dx
\]
Integramos ambos lados:
\[
\int \frac{1}{y^{2}} \, dy = \int \frac{x - 3}{x^{2}} \, dx
\]
La integral del lado izquierdo es:
\[
-\frac{1}{y} + C_1
\]
Para el lado derecho, descomponemos la fracción:
\[
\frac{x - 3}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}
\]
Entonces:
\[
\int \left( \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} \right) \, dx = \ln |x| + \frac{3}{x} + C_2
\]
Igualando las integrales:
\[
-\frac{1}{y} = \ln |x| + \frac{3}{x} + C
\]
Despejamos \( y \):
\[
y = -\frac{1}{\ln |x| + \frac{3}{x} + C}
\]
### Resumen de soluciones:
1. \( y = 2 + C' |1 - x^{5}|^{-1/5} \)
2. \( y = \frac{x^{2}}{1 - x - Cx^{2}} \)
3. \( y = -\frac{1}{\ln |x| + \frac{3}{x} + C} \)
Quick Answer
1. \( y = 2 + C' |1 - x^{5}|^{-1/5} \)
2. \( y = \frac{x^{2}}{1 - x - Cx^{2}} \)
3. \( y = -\frac{1}{\ln |x| + \frac{3}{x} + C} \)
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