Ortega Johnston
02/14/2023 · Primary School
40 1. Exprimer sous la forme \( \ln a \), avec \( a \) un réel stricte- ment positif, le nombre \( 3 \ln 2-\ln 9+\ln 5 \). 2. Exprimer en fonction de \( \ln 2 \) le nombre \( \ln 8-3 \ln 4+\ln \sqrt{2} \).
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1. Pour exprimer \( 3 \ln 2 - \ln 9 + \ln 5 \) sous la forme \( \ln a \), nous allons utiliser les propriétés des logarithmes.
Nous savons que :
- \( \ln a - \ln b = \ln \left( \frac{a}{b} \right) \)
- \( n \ln a = \ln (a^n) \)
Appliquons ces propriétés :
\[
3 \ln 2 = \ln (2^3) = \ln 8
\]
Donc, nous avons :
\[
3 \ln 2 - \ln 9 + \ln 5 = \ln 8 - \ln 9 + \ln 5
\]
Maintenant, nous pouvons combiner les logarithmes :
\[
\ln 8 - \ln 9 = \ln \left( \frac{8}{9} \right)
\]
Ainsi, nous avons :
\[
\ln \left( \frac{8}{9} \right) + \ln 5 = \ln \left( \frac{8 \cdot 5}{9} \right) = \ln \left( \frac{40}{9} \right)
\]
Donc, \( 3 \ln 2 - \ln 9 + \ln 5 = \ln \left( \frac{40}{9} \right) \).
2. Pour exprimer \( \ln 8 - 3 \ln 4 + \ln \sqrt{2} \) en fonction de \( \ln 2 \), nous allons également utiliser les propriétés des logarithmes.
Nous savons que :
\[
\ln 8 = \ln (2^3) = 3 \ln 2
\]
\[
3 \ln 4 = 3 \ln (2^2) = 3 \cdot 2 \ln 2 = 6 \ln 2
\]
\[
\ln \sqrt{2} = \ln (2^{1/2}) = \frac{1}{2} \ln 2
\]
Maintenant, substituons ces expressions dans notre équation :
\[
\ln 8 - 3 \ln 4 + \ln \sqrt{2} = 3 \ln 2 - 6 \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 2
\]
En combinant les termes :
\[
(3 - 6 + \frac{1}{2}) \ln 2 = \left(-3 + \frac{1}{2}\right) \ln 2 = -\frac{6}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}
\]
Donc, \( \ln 8 - 3 \ln 4 + \ln \sqrt{2} = -\frac{5}{2} \ln 2 \).
Quick Answer
1. \( 3 \ln 2 - \ln 9 + \ln 5 = \ln \left( \frac{40}{9} \right) \).
2. \( \ln 8 - 3 \ln 4 + \ln \sqrt{2} = -\frac{5}{2} \ln 2 \).
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