\( \operatorname { Lim } _ { t \rightarrow \infty } 2 \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } \)

Para resolver el límite \( \operatorname{Lim}_{t \rightarrow \infty} 2 \int_{0}^{t} \frac{1}{n(n+1)} \, dn \), primero necesitamos calcular la integral \( \int \frac{1}{n(n+1)} \, dn \). Podemos descomponer la fracción usando fracciones parciales: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \] Multiplicando ambos lados por \( n(n+1) \) y resolviendo para \( A \) y \( B \): \[ 1 = A(n+1) + Bn \] Si tomamos \( n = 0 \): \[ 1 = A(0 + 1) \implies A = 1 \] Si tomamos \( n = -1 \): \[ 1 = B(-1) \implies B = -1 \] Por lo tanto, podemos escribir: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Ahora, integramos: \[ \int \frac{1}{n(n+1)} \, dn = \int \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \, dn = \ln |n| - \ln |n+1| + C = \ln \left| \frac{n}{n+1} \right| + C \] Ahora evaluamos la integral definida: \[ \int_{0}^{t} \frac{1}{n(n+1)} \, dn = \left[ \ln \left| \frac{n}{n+1} \right| \right]_{0}^{t} \] Evaluamos en los límites: 1. Para \( n = t \): \[ \ln \left| \frac{t}{t+1} \right| \] 2. Para \( n = 0 \): \[ \lim_{n \to 0} \ln \left| \frac{n}{n+1} \right| = \ln(0) \text{ (indeterminado, pero se puede analizar el límite)} \] Sin embargo, al evaluar el límite cuando \( n \) se aproxima a 0, notamos que: \[ \frac{n}{n+1} \to 0 \implies \ln \left| \frac{n}{n+1} \right| \to -\infty \] Por lo tanto, la integral se comporta de la siguiente manera: \[ \int_{0}^{t} \frac{1}{n(n+1)} \, dn = \ln \left| \frac{t}{t+1} \right| - \lim_{n \to 0} \ln \left| \frac{n}{n+1} \right| \to \ln \left| \frac{t}{t+1} \right| + \infty \] Esto implica que la integral diverge a \( \infty \) cuando \( t \to \infty \). Finalmente, evaluamos el límite: \[ \operatorname{Lim}_{t \rightarrow \infty} 2 \int_{0}^{t} \frac{1}{n(n+1)} \, dn = \operatorname{Lim}_{t \rightarrow \infty} 2 \left( \ln \left| \frac{t}{t+1} \right| + \infty \right) = \infty \] Por lo tanto, el resultado es: \[ \boxed{\infty} \]