1. (1,5) Euboge a regian delimitada pelo gráfico das equaçōes \( x=y^{2}+1, x=\frac{1}{2}, y=-2 \) e \( y=2 \). Calcule a áren desesa região.

Para calcular a área da região delimitada pelo gráfico das equações \( x = y^2 + 1 \), \( x = \frac{1}{2} \), \( y = -2 \) e \( y = 2 \), vamos seguir os seguintes passos: 1. **Identificar as interseções**: - A equação \( x = y^2 + 1 \) é uma parábola que abre para a direita. - A linha vertical \( x = \frac{1}{2} \) é uma linha que corta a parábola. - Precisamos encontrar os valores de \( y \) onde \( x = y^2 + 1 \) é igual a \( \frac{1}{2} \): \[ y^2 + 1 = \frac{1}{2} \] \[ y^2 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \] Não há interseções reais, pois \( y^2 \) não pode ser negativo. 2. **Determinar os limites de integração**: - A parábola \( x = y^2 + 1 \) atinge \( x = 1 \) quando \( y = 0 \) (ou seja, \( 0^2 + 1 = 1 \)). - Portanto, a região delimitada pela parábola e pelas linhas \( y = -2 \) e \( y = 2 \) está entre \( x = 1 \) e \( x = \frac{1}{2} \). 3. **Calcular a área**: - A área da região pode ser calculada integrando a diferença entre as funções que delimitam a região. A função superior é \( y = 2 \) e a função inferior é \( y = -2 \). - A área \( A \) é dada por: \[ A = \int_{-2}^{2} (y_{\text{superior}} - y_{\text{inferior}}) \, dy \] onde \( y_{\text{superior}} = 2 \) e \( y_{\text{inferior}} = -2 \). 4. **Cálculo da integral**: \[ A = \int_{-2}^{2} (2 - (-2)) \, dy = \int_{-2}^{2} 4 \, dy \] \[ A = 4 \cdot (2 - (-2)) = 4 \cdot 4 = 16 \] Portanto, a área da região delimitada é \( 16 \) unidades quadradas.