Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera \( (\mathrm{V}) \) o falsa (F) Justifique sus respuestas. a. Dom \( (\csc )=\mathbf{R} \). b. Dom \( (\sec )=\mathbf{R} \). c. La ecuación \( \sec x=0 \) no tiene soluc d. La ecuación \( \csc x=0 \) no tiene soluc e. Ran \( (\csc )=\mathbf{R} \)

Vamos a analizar cada una de las afirmaciones: a. **Dom \( (\csc )=\mathbf{R} \)**. **Falsa (F)**. La función cosecante, \( \csc x = \frac{1}{\sin x} \), no está definida donde \( \sin x = 0 \). Esto ocurre en los puntos \( x = n\pi \), donde \( n \) es un entero. Por lo tanto, el dominio de \( \csc x \) es \( \mathbf{R} \setminus \{ n\pi \mid n \in \mathbb{Z} \} \). b. **Dom \( (\sec )=\mathbf{R} \)**. **Falsa (F)**. La función secante, \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \), no está definida donde \( \cos x = 0 \). Esto ocurre en los puntos \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \), donde \( n \) es un entero. Por lo tanto, el dominio de \( \sec x \) es \( \mathbf{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + n\pi \mid n \in \mathbb{Z} \} \). c. **La ecuación \( \sec x=0 \) no tiene solución**. **Verdadera (V)**. La función secante, \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \), nunca puede ser igual a cero, ya que \( \sec x \) es el recíproco de \( \cos x \) y \( \cos x \) nunca es cero en los puntos donde \( \sec x \) está definida. Por lo tanto, la ecuación \( \sec x = 0 \) no tiene solución. d. **La ecuación \( \csc x=0 \) no tiene solución**. **Verdadera (V)**. La función cosecante, \( \csc x = \frac{1}{\sin x} \), nunca puede ser igual a cero, ya que \( \csc x \) es el recíproco de \( \sin x \) y \( \sin x \) nunca es cero en los puntos donde \( \csc x \) está definida. Por lo tanto, la ecuación \( \csc x = 0 \) no tiene solución. e. **Ran \( (\csc )=\mathbf{R} \)**. **Falsa (F)**. La función cosecante toma valores en el intervalo \( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \). Esto se debe a que \( \sin x \) varía entre -1 y 1, y por lo tanto, \( \csc x \) no puede tomar valores entre -1 y 1. Por lo tanto, la imagen de \( \csc x \) no es \( \mathbf{R} \). Resumiendo: a. F b. F c. V d. V e. F