Resolver en \( \mathbb{R} \), indicando el dominio respectivo: \( \begin{array}{lll}\text { (a) }-25 \text { puntos] } \\ \text { (b) } \frac{3}{4 x-8} \geq \frac{x}{x-2} & \text { (c) } \frac{4 x}{x+\frac{9}{2}}=-\frac{x^{2}}{x+\frac{9}{2}}-2\end{array} \)

Vamos a resolver cada una de las desigualdades y ecuaciones, indicando el dominio respectivo. ### (a) No se proporciona una expresión para resolver. Por lo tanto, no hay nada que resolver aquí. ### (b) Resolver la desigualdad: \[ \frac{3}{4x - 8} \geq \frac{x}{x - 2} \] **Dominio:** Para determinar el dominio, debemos asegurarnos de que los denominadores no sean cero: 1. \( 4x - 8 \neq 0 \) implica \( x \neq 2 \). 2. \( x - 2 \neq 0 \) implica \( x \neq 2 \). Por lo tanto, el dominio es \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \). **Resolución:** Multiplicamos ambos lados por \( (4x - 8)(x - 2) \) (teniendo en cuenta que debemos considerar el signo de \( 4x - 8 \) y \( x - 2 \)): \[ 3(x - 2) \geq x(4x - 8) \] \[ 3x - 6 \geq 4x^2 - 8x \] Reorganizamos la desigualdad: \[ 0 \geq 4x^2 - 5x + 6 \] \[ 4x^2 - 5x + 6 \leq 0 \] Ahora, calculamos el discriminante: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 25 - 96 = -71 \] Como el discriminante es negativo, la parábola no corta el eje \( x \) y, dado que el coeficiente de \( x^2 \) es positivo, la parábola está por encima del eje \( x \) para todos los \( x \). Por lo tanto, la desigualdad \( 4x^2 - 5x + 6 \leq 0 \) no tiene soluciones. **Conclusión para (b):** No hay soluciones en el dominio \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \). ### (c) Resolver la ecuación: \[ \frac{4x}{x + \frac{9}{2}} = -\frac{x^2}{x + \frac{9}{2}} - 2 \] **Dominio:** El denominador no puede ser cero: \[ x + \frac{9}{2} \neq 0 \implies x \neq -\frac{9}{2} \] Por lo tanto, el dominio es \( \mathbb{R} \setminus \{-\frac{9}{2}\} \). **Resolución:** Multiplicamos ambos lados por \( x + \frac{9}{2} \) (siempre que \( x \neq -\frac{9}{2} \)): \[ 4x = -x^2 - 2\left(x + \frac{9}{2}\right) \] \[ 4x = -x^2 - 2x - 9 \] Reorganizamos la ecuación: \[ x^2 + 6x + 9 = 0 \] Factorizamos: \[ (x + 3)^2 = 0 \] Por lo tanto, \( x + 3 = 0 \) implica \( x = -3 \). **Verificación:** Verificamos que \( x = -3 \) está en el dominio: \(-3 \neq -\frac{9}{2}\), así que es una solución válida. **Conclusión para (c):** La solución es \( x = -3 \) con dominio \( \mathbb{R} \setminus \{-\frac{9}{2}\} \).