194. Considera il triangolo \( A B C \) della figura a lato e l'altezza \( C H \) relativa al lato \( A B \). Calcola la misura degli angoli \( \overline{H C B} \) e \( \overline{H C A} \) sapendo che gli angoli \( \frac{A}{A} \) e \( \bar{B} \) sono ampi rispettivamente \( 65^{\circ} \) e \( 35^{\circ} \).

Per risolvere il problema, iniziamo a calcolare l'angolo \( C \) del triangolo \( ABC \). Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è \( 180^\circ \). Pertanto, possiamo scrivere: \[ A + B + C = 180^\circ \] Sostituendo i valori degli angoli \( A \) e \( B \): \[ 65^\circ + 35^\circ + C = 180^\circ \] Calcoliamo \( C \): \[ C = 180^\circ - 65^\circ - 35^\circ = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \] Ora abbiamo gli angoli del triangolo \( ABC \): - \( A = 65^\circ \) - \( B = 35^\circ \) - \( C = 80^\circ \) Ora consideriamo l'altezza \( CH \) relativa al lato \( AB \). Gli angoli \( \overline{HCB} \) e \( \overline{HCA} \) sono gli angoli che vogliamo calcolare. Poiché \( CH \) è un'altezza, forma un angolo retto con il lato \( AB \). Quindi, possiamo scrivere: \[ \overline{HCB} + \overline{C} + 90^\circ = 180^\circ \] Da cui otteniamo: \[ \overline{HCB} = 180^\circ - 90^\circ - C = 90^\circ - C = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ \] Allo stesso modo, per calcolare \( \overline{HCA} \): \[ \overline{HCA} + \overline{C} + 90^\circ = 180^\circ \] Da cui otteniamo: \[ \overline{HCA} = 180^\circ - 90^\circ - C = 90^\circ - C = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ \] Tuttavia, dobbiamo considerare che \( \overline{HCA} \) è l'angolo complementare a \( \overline{HCB} \) rispetto a \( C \): \[ \overline{HCA} = 90^\circ - \overline{HCB} = 90^\circ - 10^\circ = 80^\circ \] Riassumendo, abbiamo: - \( \overline{HCB} = 10^\circ \) - \( \overline{HCA} = 80^\circ \) Quindi, le misure degli angoli \( \overline{HCB} \) e \( \overline{HCA} \) sono: \[ \overline{HCB} = 10^\circ, \quad \overline{HCA} = 80^\circ \]