\( \lim _ { x \rightarrow \infty } ( \sqrt { 4 x ^ { 2 } + b x - 3 } - 2 x ) = \)

Para resolver el límite \( \lim _ { x \rightarrow \infty } ( \sqrt { 4 x ^ { 2 } + b x - 3 } - 2 x ) \), podemos simplificar la expresión dentro del límite. Primero, observamos que cuando \( x \) tiende a infinito, el término \( 4x^2 \) dominará los otros términos dentro de la raíz. Por lo tanto, podemos factorizar \( 4x^2 \) de la raíz: \[ \sqrt{4x^2 + bx - 3} = \sqrt{4x^2(1 + \frac{b}{4x} - \frac{3}{4x^2})} = \sqrt{4x^2} \sqrt{1 + \frac{b}{4x} - \frac{3}{4x^2}} = 2x \sqrt{1 + \frac{b}{4x} - \frac{3}{4x^2}} \] Ahora sustituimos esto en el límite: \[ \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 2x \sqrt{1 + \frac{b}{4x} - \frac{3}{4x^2}} - 2x \right) \] Factorizamos \( 2x \): \[ = \lim_{x \rightarrow \infty} 2x \left( \sqrt{1 + \frac{b}{4x} - \frac{3}{4x^2}} - 1 \right) \] Ahora, para simplificar \( \sqrt{1 + \frac{b}{4x} - \frac{3}{4x^2}} - 1 \), utilizamos la expansión de Taylor para \( \sqrt{1 + u} \) alrededor de \( u = 0 \): \[ \sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{2} \quad \text{cuando } u \text{ es pequeño.} \] En nuestro caso, \( u = \frac{b}{4x} - \frac{3}{4x^2} \). Entonces, cuando \( x \) tiende a infinito, \( u \) tiende a 0. Por lo tanto: \[ \sqrt{1 + \frac{b}{4x} - \frac{3}{4x^2}} \approx 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{b}{4x} - \frac{3}{4x^2} \right) \] Sustituyendo esto en nuestra expresión: \[ \sqrt{1 + \frac{b}{4x} - \frac{3}{4x^2}} - 1 \approx \frac{1}{2} \left( \frac{b}{4x} - \frac{3}{4x^2} \right) = \frac{b}{8x} - \frac{3}{8x^2} \] Ahora sustituimos esto en el límite: \[ \lim_{x \rightarrow \infty} 2x \left( \frac{b}{8x} - \frac{3}{8x^2} \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{b}{4} - \frac{3}{4x} \right) \] Cuando \( x \) tiende a infinito, el término \( -\frac{3}{4x} \) tiende a 0. Por lo tanto, el límite es: \[ \frac{b}{4} \] Finalmente, el resultado del límite es: \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } ( \sqrt { 4 x ^ { 2 } + b x - 3 } - 2 x ) = \frac{b}{4} \]