Задачи 71 Докажите, что выпуклый четырёхуголь- ник \( A B C D \) является паралленограммом, если: a) \( \angle B A C=\angle A C D \) и \( \angle B C A=\angle D A C \); б) \( A B \| C D, \angle A=\angle C \).

Для доказательства того, что выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом, мы можем использовать следующие условия: a) \( \angle BAC = \angle ACD \) и \( \angle BCA = \angle DAC \); б) \( AB \| CD \) и \( \angle A = \angle C \). Давайте начнем с условия a). Условие a) гласит, что углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \) равны, а углы \( \angle BCA \) и \( \angle DAC \) также равны. Известно, что в параллелограмме противоположные углы равны. Поэтому, если \( \angle BAC = \angle ACD \) и \( \angle BCA = \angle DAC \), то это означает, что углы \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \) равны, а углы \( \angle ACD \) и \( \angle DAC \) также равны. Таким образом, мы можем сделать вывод, что выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом по условию a). Теперь перейдем к условию б). Условие б) гласит, что стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны, а углы \( \angle A \) и \( \angle C \) равны. Известно, что в параллелограмме противоположные стороны параллельны, а углы между параллельными сторонами равны. Поэтому, если \(AB \| CD\) и \( \angle A = \angle C \), то это означает, что стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны, а углы между ними равны. Таким образом, мы можем сделать вывод, что выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом по условию б). Таким образом, мы доказали, что выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом по условиям a) и б).