2. Uma secçalo paraiela a base foita a 3 cm do vértice de uma piramide tem Area igual a y/3 da Area da base. A atura da piramide é, em centimetros, igual a:

Para resolver o problema, vamos considerar uma pirâmide com base \( B \) e altura \( h \). A área da base da pirâmide é \( A_B \). A seção paralela à base a uma altura de 3 cm do vértice da pirâmide tem uma área que é igual a \( \frac{y}{3} \) da área da base. Vamos chamar a altura total da pirâmide de \( H \). Quando fazemos uma seção paralela à base de uma pirâmide, a razão entre as áreas das seções é igual ao quadrado da razão entre as alturas. Assim, podemos escrever: \[ \frac{A_{seção}}{A_B} = \left(\frac{H - 3}{H}\right)^2 \] Substituindo \( A_{seção} \) por \( \frac{y}{3} A_B \): \[ \frac{\frac{y}{3} A_B}{A_B} = \left(\frac{H - 3}{H}\right)^2 \] Simplificando, temos: \[ \frac{y}{3} = \left(\frac{H - 3}{H}\right)^2 \] Agora, vamos resolver essa equação para encontrar \( H \). Multiplicando ambos os lados por 3: \[ y = 3 \left(\frac{H - 3}{H}\right)^2 \] Agora, vamos expandir o lado direito: \[ y = 3 \cdot \frac{(H - 3)^2}{H^2} \] Multiplicando ambos os lados por \( H^2 \): \[ y H^2 = 3 (H - 3)^2 \] Expandindo o lado direito: \[ y H^2 = 3 (H^2 - 6H + 9) \] Distribuindo o 3: \[ y H^2 = 3H^2 - 18H + 27 \] Rearranjando a equação: \[ 0 = (3 - y) H^2 - 18H + 27 \] Agora, essa é uma equação quadrática na forma \( aH^2 + bH + c = 0 \), onde: - \( a = 3 - y \) - \( b = -18 \) - \( c = 27 \) Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes: \[ H = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Substituindo os valores de \( a \), \( b \) e \( c \): \[ H = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4(3 - y)(27)}}{2(3 - y)} \] Calculando o discriminante: \[ H = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 108 + 108y}}{2(3 - y)} \] \[ H = \frac{18 \pm \sqrt{216 + 108y}}{2(3 - y)} \] Assim, a altura da pirâmide \( H \) em centímetros é dada pela expressão acima. Para um valor específico de \( y \), você pode calcular \( H \).