1) Expresa en terminos de suma superior a las siguienles funciones en un intervalo \( [1,6] \) con 10 particiones. a) \( f(x)=\frac{1}{x+1}+2 \) b) \( g(x)=x+3 \) c) \( h(x)=\operatorname{sen}(x) \), usa el intervalo \( [0, \pi / 3] \) con 6 particiones

Para expresar las funciones dadas en términos de suma superior en los intervalos especificados, primero necesitamos determinar el ancho de cada partición y luego calcular los puntos de evaluación para cada partición. ### a) \( f(x) = \frac{1}{x+1} + 2 \) en el intervalo \( [1, 6] \) con 10 particiones 1. **Determinar el ancho de cada partición**: \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{6 - 1}{10} = \frac{5}{10} = 0.5 \] 2. **Puntos de partición**: Los puntos de partición son: \[ x_0 = 1, \quad x_1 = 1.5, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 2.5, \quad x_4 = 3, \quad x_5 = 3.5, \quad x_6 = 4, \quad x_7 = 4.5, \quad x_8 = 5, \quad x_9 = 5.5, \quad x_{10} = 6 \] 3. **Suma superior**: La suma superior se calcula evaluando la función en los extremos derechos de cada subintervalo: \[ S_n = \sum_{i=1}^{10} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{10} \left( \frac{1}{x_i + 1} + 2 \right) \cdot 0.5 \] Donde \( x_i \) son los puntos de partición \( 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6 \). ### b) \( g(x) = x + 3 \) en el intervalo \( [1, 6] \) con 10 particiones 1. **Ancho de cada partición**: \[ \Delta x = 0.5 \] 2. **Puntos de partición**: Los puntos de partición son los mismos que en el caso anterior. 3. **Suma superior**: La suma superior se calcula evaluando la función en los extremos derechos de cada subintervalo: \[ S_n = \sum_{i=1}^{10} g(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{10} (x_i + 3) \cdot 0.5 \] Donde \( x_i \) son los puntos de partición \( 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6 \). ### c) \( h(x) = \operatorname{sen}(x) \) en el intervalo \( [0, \pi/3] \) con 6 particiones 1. **Determinar el ancho de cada partición**: \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{\pi/3 - 0}{6} = \frac{\pi}{18} \] 2. **Puntos de partición**: Los puntos de partición son: \[ x_0 = 0, \quad x_1 = \frac{\pi}{18}, \quad x_2 = \frac{2\pi}{18} = \frac{\pi}{9}, \quad x_3 = \frac{3\pi}{18} = \frac{\pi}{6}, \quad x_4 = \frac{4\pi}{18} = \frac{2\pi}{9}, \quad x_5 = \frac{5\pi}{18}, \quad x_6 = \frac{\pi}{3} \] 3. **Suma superior**: La suma superior se calcula evaluando la función en los extremos derechos de cada subintervalo: \[ S_n = \sum_{i=1}^{6} h(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{6} \operatorname{sen}(x_i) \cdot \frac{\pi}{18} \] Donde \( x_i \) son los puntos de partición \( \frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{9}, \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{9}, \frac{5\pi}{18}, \frac{\pi}{3} \). ### Resumen Las sumas superiores para las funciones dadas son: - Para \( f(x) \): \[ S_n = \sum_{i=1}^{10} \left( \frac{1}{x_i + 1} + 2 \right) \cdot 0.5 \] - Para \( g(x) \): \[ S_n = \sum_{i=1}^{10} (x_i + 3) \cdot 0.5 \] - Para \( h(x) \): \[ S_n = \sum_{i=1}^{6} \operatorname{sen}(x_i) \cdot \frac{\pi}{18} \]