\( x+\frac{2 x-1}{6}-\frac{1+2 x}{2}-x>\frac{3 x+1}{3}-\frac{5}{6} \) \( x+\frac{2 x-1}{6}-\frac{1+2 x}{2}-x<1+\frac{x-2}{2} \) Risolvi le disequazioni

Iniziamo a risolvere le due disequazioni separatamente. ### Prima disequazione: \[ x + \frac{2x - 1}{6} - \frac{1 + 2x}{2} - x > \frac{3x + 1}{3} - \frac{5}{6} \] Semplifichiamo il lato sinistro: \[ x - x + \frac{2x - 1}{6} - \frac{1 + 2x}{2} = \frac{2x - 1}{6} - \frac{1 + 2x}{2} \] Portiamo il secondo termine a un denominatore comune: \[ \frac{1 + 2x}{2} = \frac{3 + 6x}{6} \] Quindi: \[ \frac{2x - 1}{6} - \frac{3 + 6x}{6} = \frac{2x - 1 - 3 - 6x}{6} = \frac{-4x - 4}{6} = \frac{-2x - 2}{3} \] Ora, il lato destro: \[ \frac{3x + 1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{3x + 1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{6(3x + 1) - 5}{6} = \frac{18x + 6 - 5}{6} = \frac{18x + 1}{6} \] Ora abbiamo: \[ \frac{-2x - 2}{3} > \frac{18x + 1}{6} \] Moltiplichiamo entrambi i lati per 6 (positivo, quindi non cambia il segno): \[ -4x - 4 > 18x + 1 \] Portiamo tutti i termini con \(x\) a sinistra e i termini costanti a destra: \[ -4x - 18x > 1 + 4 \] \[ -22x > 5 \] Dividiamo per -22 (cambiando il segno della disuguaglianza): \[ x < -\frac{5}{22} \] ### Seconda disequazione: \[ x + \frac{2x - 1}{6} - \frac{1 + 2x}{2} - x < 1 + \frac{x - 2}{2} \] Semplifichiamo il lato sinistro come prima: \[ x - x + \frac{2x - 1}{6} - \frac{1 + 2x}{2} = \frac{-2x - 2}{3} \] Ora, il lato destro: \[ 1 + \frac{x - 2}{2} = 1 + \frac{x - 2}{2} = \frac{2 + x - 2}{2} = \frac{x}{2} \] Quindi abbiamo: \[ \frac{-2x - 2}{3} < \frac{x}{2} \] Moltiplichiamo entrambi i lati per 6: \[ -4x - 4 < 3x \] Portiamo i termini con \(x\) a sinistra: \[ -4x - 3x < 4 \] \[ -7x < 4 \] Dividiamo per -7 (cambiando il segno della disuguaglianza): \[ x > -\frac{4}{7} \] ### Risultato finale: Le soluzioni delle disequazioni sono: 1. \( x < -\frac{5}{22} \) 2. \( x > -\frac{4}{7} \) Poiché \(-\frac{4}{7} \approx -0.571\) e \(-\frac{5}{22} \approx -0.227\), non ci sono valori di \(x\) che soddisfano entrambe le condizioni contemporaneamente. Quindi, non ci sono soluzioni comuni.