49 Si \( f(x) \) es continua en \( [1,9], f(1)=-5 \) y \( f(9)>0 \), ipune mos asegurar que la función \( g(x)=f(x)+3 \) tiene al mecent un cero en el intervalo \( [1,9] \) ?

Para asegurar que la función \( g(x) = f(x) + 3 \) tiene al menos un cero en el intervalo \( [1,9] \), podemos utilizar el Teorema del Valor Intermedio. Este teorema asegura que si una función es continua en un intervalo cerrado y bounded, entonces la función toma todos los valores entre sus valores extremos en ese intervalo. Dado que \( f(x) \) es continua en el intervalo cerrado \( [1,9] \), y \( f(1) = -5 \) y \( f(9) > 0 \), podemos aplicar el Teorema del Valor Intermedio. Primero, observamos que \( f(1) = -5 \) y \( f(9) > 0 \). Esto significa que \( f(1) \) es negativo y \( f(9) \) es positivo. Ahora, definamos la función \( g(x) = f(x) + 3 \). - \( g(1) = f(1) + 3 = -5 + 3 = -2 \), que es negativo. - \( g(9) = f(9) + 3 \), que es positivo (ya que \( f(9) > 0 \)). Por lo tanto, \( g(1) \) es negativo y \( g(9) \) es positivo. Según el Teorema del Valor Intermedio, hay al menos un valor \( c \) en el intervalo \( [1,9] \) tal que \( g(c) = 0 \). Por lo tanto, podemos asegurar que la función \( g(x) = f(x) + 3 \) tiene al menos un cero en el intervalo \( [1,9] \).