3. Determina el dominio de las siguientes funciones con algunas restricciones. a) \( f(x)=\sqrt{6 x-3} \) b) \( g(x)=\frac{x-1}{x^{2}-7 x+6} \) c) \( f(x)=\sqrt{3 x-5} \) d) \( g(x)=\frac{2 x-3}{x^{2}-2 x-24} \)

Para determinar el dominio de las funciones dadas, debemos identificar las restricciones que impone cada función. a) \( f(x) = \sqrt{6x - 3} \) Para que la raíz cuadrada esté definida, el argumento debe ser mayor o igual a cero: \[ 6x - 3 \geq 0 \] Resolviendo la desigualdad: \[ 6x \geq 3 \\ x \geq \frac{1}{2} \] Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es: \[ D_f = \left[ \frac{1}{2}, \infty \right) \] b) \( g(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 7x + 6} \) El denominador no puede ser cero. Primero, factorizamos el denominador: \[ x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) \] Igualamos a cero para encontrar los valores que debemos excluir: \[ (x - 1)(x - 6) = 0 \\ x - 1 = 0 \quad \text{o} \quad x - 6 = 0 \\ x = 1 \quad \text{o} \quad x = 6 \] Por lo tanto, el dominio de \( g(x) \) es: \[ D_g = \mathbb{R} \setminus \{1, 6\} \] c) \( f(x) = \sqrt{3x - 5} \) Al igual que en el caso anterior, el argumento de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual a cero: \[ 3x - 5 \geq 0 \] Resolviendo la desigualdad: \[ 3x \geq 5 \\ x \geq \frac{5}{3} \] Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es: \[ D_f = \left[ \frac{5}{3}, \infty \right) \] d) \( g(x) = \frac{2x - 3}{x^2 - 2x - 24} \) Nuevamente, el denominador no puede ser cero. Factorizamos el denominador: \[ x^2 - 2x - 24 = (x - 6)(x + 4) \] Igualamos a cero para encontrar los valores que debemos excluir: \[ (x - 6)(x + 4) = 0 \\ x - 6 = 0 \quad \text{o} \quad x + 4 = 0 \\ x = 6 \quad \text{o} \quad x = -4 \] Por lo tanto, el dominio de \( g(x) \) es: \[ D_g = \mathbb{R} \setminus \{-4, 6\} \] Resumiendo, los dominios son: - \( D_f = \left[ \frac{1}{2}, \infty \right) \) para \( f(x) = \sqrt{6x - 3} \) - \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{1, 6\} \) para \( g(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 7x + 6} \) - \( D_f = \left[ \frac{5}{3}, \infty \right) \) para \( f(x) = \sqrt{3x - 5} \) - \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-4, 6\} \) para \( g(x) = \frac{2x - 3}{x^2 - 2x - 24} \)