Como llegar al resultado \( |u|=|v| \) s. tenemos lo siguiente: \( \mid \) Proy \( u|=| \) Proy \( v \mid \) \( \left|\frac{u \cdot v}{v \cdot v} v\right|=\left|\frac{v \cdot u}{v \cdot v} u\right| \) \( \left|\frac{u \cdot v}{|v|} \cdot \frac{v}{|v|}\right|=\left|\frac{v \cdot u}{|v|} \cdot \frac{u}{|v|}\right| \)

Para llegar al resultado \( |u| = |v| \) a partir de la igualdad de las proyecciones, comenzamos con la expresión que se nos da: \[ \left|\frac{u \cdot v}{v \cdot v} v\right| = \left|\frac{v \cdot u}{v \cdot v} u\right| \] Primero, recordemos que la proyección de un vector \( u \) sobre un vector \( v \) se define como: \[ \text{Proy}_{v}(u) = \frac{u \cdot v}{v \cdot v} v \] Por lo tanto, la expresión que tenemos se puede reescribir como: \[ |\text{Proy}_{v}(u)| = |\text{Proy}_{u}(v)| \] Ahora, usando la propiedad de la magnitud de un vector, podemos simplificar ambas proyecciones: 1. Para la proyección de \( u \) sobre \( v \): \[ |\text{Proy}_{v}(u)| = \left|\frac{u \cdot v}{v \cdot v} v\right| = \frac{|u \cdot v|}{|v|^2} |v| = \frac{|u \cdot v|}{|v|} \] 2. Para la proyección de \( v \) sobre \( u \): \[ |\text{Proy}_{u}(v)| = \left|\frac{v \cdot u}{u \cdot u} u\right| = \frac{|v \cdot u|}{|u|^2} |u| = \frac{|v \cdot u|}{|u|} \] Dado que \( |u \cdot v| = |v \cdot u| \), podemos igualar las magnitudes de las proyecciones: \[ \frac{|u \cdot v|}{|v|} = \frac{|v \cdot u|}{|u|} \] Esto se simplifica a: \[ \frac{|u \cdot v|}{|v|} = \frac{|u \cdot v|}{|u|} \] Si \( |u \cdot v| \neq 0 \), podemos multiplicar ambos lados por \( |u| |v| \) (asumiendo que \( |u| \) y \( |v| \) son diferentes de cero): \[ |u| |u \cdot v| = |v| |u \cdot v| \] Dividiendo ambos lados por \( |u \cdot v| \): \[ |u| = |v| \] Por lo tanto, hemos llegado al resultado deseado: \[ |u| = |v| \] Si \( |u \cdot v| = 0 \), esto implicaría que \( u \) y \( v \) son ortogonales, pero en ese caso no se puede concluir que \( |u| = |v| \) a partir de la proyección. Sin embargo, en el contexto de la igualdad de las proyecciones, asumimos que \( |u \cdot v| \neq 0 \) para llegar a la conclusión final.