12. Demuestra que si \( \mid \) Proy \( _{V} U|=| \) Proy \( _{\mathrm{U}} \mathrm{V} \mid \) entonces \( |U|=|V| \)

Para demostrar que si \( | \text{Proy}_{V} U | = | \text{Proy}_{U} V | \) entonces \( |U| = |V| \), comenzaremos por entender qué significa cada uno de estos términos. 1. **Proyección**: La proyección de un vector \( U \) sobre un subespacio \( V \) se refiere a la parte de \( U \) que "cae" en \( V \). Matemáticamente, si \( U \) es un vector en un espacio vectorial y \( V \) es un subespacio, la proyección de \( U \) sobre \( V \) se denota como \( \text{Proy}_{V} U \). 2. **Dimensiones**: La notación \( |X| \) se refiere a la dimensión del espacio vectorial \( X \). Ahora, supongamos que \( | \text{Proy}_{V} U | = | \text{Proy}_{U} V | \). Esto implica que las dimensiones de las proyecciones son iguales. ### Paso 1: Dimensiones de las proyecciones La proyección de \( U \) sobre \( V \) se puede entender como un mapeo lineal que toma \( U \) y lo proyecta en \( V \). La dimensión de la proyección \( \text{Proy}_{V} U \) está relacionada con la dimensión de \( U \) y la dimensión de \( V \) a través de la fórmula: \[ \text{dim}(\text{Proy}_{V} U) = \text{dim}(U) - \text{dim}(U \cap V) \] De manera similar, la proyección de \( V \) sobre \( U \) se puede expresar como: \[ \text{dim}(\text{Proy}_{U} V) = \text{dim}(V) - \text{dim}(V \cap U) \] ### Paso 2: Igualando las dimensiones Dado que \( | \text{Proy}_{V} U | = | \text{Proy}_{U} V | \), podemos escribir: \[ \text{dim}(U) - \text{dim}(U \cap V) = \text{dim}(V) - \text{dim}(V \cap U) \] Observamos que \( U \cap V \) y \( V \cap U \) son el mismo subespacio, por lo que podemos denotar su dimensión como \( d \): \[ \text{dim}(U) - d = \text{dim}(V) - d \] ### Paso 3: Conclusión Al simplificar la ecuación anterior, obtenemos: \[ \text{dim}(U) = \text{dim}(V) \] Por lo tanto, hemos demostrado que si \( | \text{Proy}_{V} U | = | \text{Proy}_{U} V | \), entonces \( |U| = |V| \). Esto concluye la demostración.