1. Determina los siguientes limit a) \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}+1}{x-3} \) b) \( \lim _{x \rightarrow 5} \frac{\sqrt{25-x^{2}}}{x-5} \) c) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+3}{2 x+1} \) d) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}+x-1}{\sqrt{x^{2}+3}} \) e) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4-\sqrt{x+7}}{\sqrt{x-2}} \)

Vamos a calcular cada uno de los límites solicitados. ### a) \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}+1}{x-3} \) Al evaluar el límite, sustituimos \( x = 3 \): \[ \frac{3^{2}+1}{3-3} = \frac{9+1}{0} = \frac{10}{0} \] Esto indica que el límite tiende a \( \infty \) o \( -\infty \). Para determinar la dirección, evaluamos el límite por la izquierda y por la derecha: - Cuando \( x \to 3^{-} \), \( x - 3 < 0 \) y el numerador es positivo, por lo que el límite tiende a \( -\infty \). - Cuando \( x \to 3^{+} \), \( x - 3 > 0 \) y el numerador sigue siendo positivo, por lo que el límite tiende a \( +\infty \). Por lo tanto, el límite no existe. ### b) \( \lim _{x \rightarrow 5} \frac{\sqrt{25-x^{2}}}{x-5} \) Al evaluar el límite, sustituimos \( x = 5 \): \[ \frac{\sqrt{25-5^{2}}}{5-5} = \frac{\sqrt{25-25}}{0} = \frac{0}{0} \] Esto es una indeterminación. Aplicamos la regla de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{25-x^2}}{x-5} = \lim_{x \to 5} \frac{\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}}{1} = \frac{-5}{\sqrt{25-25}} = \frac{-5}{0} \] Esto también indica que el límite tiende a \( -\infty \) o \( +\infty \). Evaluamos el signo: - Cuando \( x \to 5^{-} \), \( \sqrt{25-x^2} > 0 \) y \( x-5 < 0 \), por lo que el límite tiende a \( -\infty \). - Cuando \( x \to 5^{+} \), \( \sqrt{25-x^2} > 0 \) y \( x-5 > 0 \), por lo que el límite tiende a \( +\infty \). Por lo tanto, el límite no existe. ### c) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+3}{2 x+1} \) Dividimos el numerador y el denominador por \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2/x + 3/x}{2 + 1/x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 3/x}{2 + 1/x} = \frac{\infty + 0}{2 + 0} = \infty \] Por lo tanto, el límite es \( \infty \). ### d) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}+x-1}{\sqrt{x^{2}+3}} \) Dividimos el numerador y el denominador por \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + 1/x - 1/x^2}{\sqrt{1 + 3/x^2}} = \frac{2 + 0 - 0}{\sqrt{1 + 0}} = 2 \] Por lo tanto, el límite es \( 2 \). ### e) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4-\sqrt{x+7}}{\sqrt{x-2}} \) Dividimos el numerador y el denominador por \( \sqrt{x} \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{4/\sqrt{x} - \sqrt{1 + 7/x}}{\sqrt{1 - 2/x}} = \frac{0 - 1}{1} = -1 \] Por lo tanto, el límite es \( -1 \). ### Resumen de los límites: a) No existe b) No existe c) \( \infty \) d) \( 2 \) e) \( -1 \)