I Avance: Dada la función cuadrática: \[ f(x)=-2 x^{2}+4 x+5 \] 1. Hallar vértice y puntos de corte del eje \( x \). 2. Realizar tabla de valores con los siguientes puntos: \( x:-2,-3 / 2,-1,-1 / 2,0,1 / 2,1,3 / 2,2,5 / 2,3,7 / 2 \) 3. Realizar grafica de la función

Para resolver la función cuadrática \( f(x) = -2x^2 + 4x + 5 \), procederemos paso a paso. ### 1. Hallar el vértice y puntos de corte del eje \( x \) **Vértice:** La fórmula para encontrar el vértice de una función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) es: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Donde \( a = -2 \) y \( b = 4 \). Calculamos \( x_v \): \[ x_v = -\frac{4}{2 \cdot -2} = -\frac{4}{-4} = 1 \] Ahora sustituimos \( x_v \) en la función para encontrar \( y_v \): \[ f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 5 = -2 + 4 + 5 = 7 \] Por lo tanto, el vértice es \( (1, 7) \). **Puntos de corte del eje \( x \):** Para encontrar los puntos de corte del eje \( x \), igualamos \( f(x) \) a cero: \[ -2x^2 + 4x + 5 = 0 \] Usamos la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Donde \( a = -2 \), \( b = 4 \), y \( c = 5 \). Calculamos el discriminante: \[ b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-2)(5) = 16 + 40 = 56 \] Ahora calculamos \( x \): \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot -2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{-4} = \frac{4 \mp 2\sqrt{14}}{4} = 1 \mp \frac{\sqrt{14}}{2} \] Los puntos de corte del eje \( x \) son: \[ x_1 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}, \quad x_2 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2} \] ### 2. Realizar tabla de valores Calculamos \( f(x) \) para los valores de \( x \) dados: - \( x = -2 \): \[ f(-2) = -2(-2)^2 + 4(-2) + 5 = -8 - 8 + 5 = -11 \] - \( x = -\frac{3}{2} \): \[ f\left(-\frac{3}{2}\right) = -2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{3}{2}\right) + 5 = -\frac{9}{2} - 6 + 5 = -\frac{9}{2} - \frac{12}{2} + \frac{10}{2} = -\frac{11}{2} \] - \( x = -1 \): \[ f(-1) = -2(-1)^2 + 4(-1) + 5 = -2 - 4 + 5 = -1 \] - \( x = -\frac{1}{2} \): \[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = -2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 5 = -\frac{1}{2} - 2 + 5 = \frac{7}{2} \] - \( x = 0 \): \[ f(0) = -2(0)^2 + 4(0) + 5 = 5 \] - \( x = \frac{1}{2} \): \[ f\left(\frac{1}{2}\right) = -2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{2}\right) + 5 = -\frac{1}{2} + 2 + 5 = \frac{13}{2} \] - \( x = 1 \): \[ f(1) = 7 \quad \text{(ya calculado)} \] - \( x = \frac{3}{2} \): \[ f\left(\frac{3}{2}\right) = -2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{3}{2}\right) + 5 = -\frac{9}{2} + 6 + 5 = \frac{7}{2} \] - \( x = 2 \): \[ f(2) = -2(2)^2 + 4(2) + 5 = -8 + 8 + 5 = 5 \] - \( x = \frac{5}{2} \): \[ f\left(\frac{5}{2}\right) = -2\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{5}{2}\right) + 5 = -\frac{25}{2} + 10 + 5 = -\frac{25}{2} + \frac{30}{2} = \frac{5}{2} \] - \( x = 3 \): \[ f(3) = -2(3)^2 + 4(3) + 5 = -18 + 12 + 5 = -1 \] ### Tabla de valores | \( x \) | \( f(x) \) | |---------------|------------------| | -2 | -11 | | -\(\frac{3}{2}\) | -\(\frac{11}{2}\) | | -1 | -1 | | -\(\frac{1}{2}\) | \(\frac{7}{2}\) | | 0 | 5 | | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{13}{2}\) | | 1 | 7 | | \(\frac{3}{2}\) | \(\frac{7}{2}\) | | 2 | 5 | | \(\frac{5}{2}\) | \(\frac{5}{2}\) | | 3 | -1 | ### 3. Realizar gráfica de la función Para graficar la función, se pueden usar los puntos de la tabla de valores. La gráfica de la función cuadrática tendrá la forma de una parábola que abre hacia abajo (ya que \( a < 0 \)) y tendrá su vértice en \( (1, 7) \). Aquí tienes una representación aproximada de la gráfica: ``` 8 | * 7 | * 6 | * 5 | * * 4 | * 3 | * 2 | * 1 | * 0 | * -1 | * * -2 |* -3 | -4 | -5 | -6 | -7 | -8 | -9 | -10 | -11 |* -2 -1 0 1 2 3 ``` Recuerda que para una gráfica precisa, es recomendable usar software de graficación o una calculadora gráfica.