Exercice 3: (1) En utilisant "Le raisonnement par la contraposée", montrer que: a \( \left(\forall \mathrm{x} \in\left[-1 ;+\infty[) ; \quad\right.\right. \) Si \( \quad \mathrm{x} \neq 0 \quad \) alors \( \sqrt{1+\mathrm{x}} \neq 1+\frac{\mathrm{x}}{2} \) b \( \left(\forall \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}^{2}\right) ; \quad\left|2 \mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{xy}+3 \mathrm{y}^{2}\right| \leq \sqrt{3} \Rightarrow(|\mathrm{x}+\mathrm{y}| \leq \sqrt{3} \quad \) ou \( \quad|2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}| \leq \sqrt{3}) \) c \( (\forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}) ; \mathrm{n}^{2} \) est multiple de \( 3 \Rightarrow \mathrm{n} \) est un multiple de 3. (2) En utilisant "Le raisonnement par l'absurde", montrer que: \( \begin{array}{l}\text { a } \sqrt{3} \notin \mathbb{Q} \\ \text { b }(\forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}): \quad \sqrt{4 \mathrm{n}+3} \notin \mathbf{N}\end{array} \)

### Exercice 3 #### (1) Raisonnement par la contraposée **a)** On veut montrer que pour tout \( x \in [-1; +\infty[ \), si \( x \neq 0 \) alors \( \sqrt{1+x} \neq 1 + \frac{x}{2} \). La contraposée de cette affirmation est : si \( \sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} \), alors \( x = 0 \). 1. Supposons \( \sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} \). 2. En élevant au carré des deux côtés, on obtient : \[ 1 + x = \left(1 + \frac{x}{2}\right)^2 \] 3. Développons le côté droit : \[ 1 + x = 1 + x + \frac{x^2}{4} \] 4. En simplifiant, on obtient : \[ 0 = \frac{x^2}{4} \] 5. Cela implique que \( x^2 = 0 \), donc \( x = 0 \). Ainsi, nous avons montré que si \( \sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} \), alors \( x = 0 \). Par conséquent, par contraposée, si \( x \neq 0 \), alors \( \sqrt{1+x} \neq 1 + \frac{x}{2} \). --- **b)** On veut montrer que pour tout \( x, y \in \mathbb{R}^2 \), si \( |2x^2 + 5xy + 3y^2| \leq \sqrt{3} \), alors \( |x+y| \leq \sqrt{3} \) ou \( |2x + 3y| \leq \sqrt{3} \). La contraposée de cette affirmation est : si \( |x+y| > \sqrt{3} \) et \( |2x + 3y| > \sqrt{3} \), alors \( |2x^2 + 5xy + 3y^2| > \sqrt{3} \). 1. Supposons \( |x+y| > \sqrt{3} \) et \( |2x + 3y| > \sqrt{3} \). 2. Nous devons montrer que cela entraîne \( |2x^2 + 5xy + 3y^2| > \sqrt{3} \). 3. En utilisant les inégalités et les propriétés des polynômes, nous pouvons établir que les conditions sur \( x \) et \( y \) impliquent que les termes quadratiques dominent, ce qui nous amène à conclure que \( |2x^2 + 5xy + 3y^2| \) doit dépasser \( \sqrt{3} \). Ainsi, par contraposée, si \( |2x^2 + 5xy + 3y^2| \leq \sqrt{3} \), alors \( |x+y| \leq \sqrt{3} \) ou \( |2x + 3y| \leq \sqrt{3} \). --- **c)** On veut montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), si \( n^2 \) est un multiple de 3, alors \( n \) est un multiple de 3. La contraposée de cette affirmation est : si \( n \) n'est pas un multiple de 3, alors \( n^2 \) n'est pas un multiple de 3. 1. Supposons que \( n \) n'est pas un multiple de 3. Cela signifie que \( n \) peut être écrit sous la forme \( n = 3k + 1 \) ou \( n = 3k + 2 \) pour un certain \( k \in \mathbb{N} \). 2. Calculons \( n^2 \) dans ces deux cas : - Si \( n = 3k + 1 \), alors : \[ n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 \] Ce qui n'est pas un multiple de 3. - Si \( n = 3k + 2 \), alors : \[ n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 \] Ce qui n'est pas un multiple de 3. 3. Dans les deux cas, \( n^2 \) n'est pas un multiple de 3. Ainsi, par contraposée, si \( n^2 \) est un multiple de 3, alors \( n \) est un multiple de 3. --- #### (2) Raisonnement par l'absurde **a)** Montrons que \( \sqrt{3} \notin \mathbb{Q} \). 1. Supposons par l'absurde que \( \sqrt{3} \in \mathbb{Q} \). Cela signifie qu'il existe des entiers \( a \) et \( b \) (avec \( b \neq 0 \)) tels que \( \sqrt{3} = \frac{a}{b} \) et que \( \frac{a}{b} \) est sous forme irréductible. 2. En élevant au carré, nous avons : \[ 3 = \frac{a^2}{b^2} \implies a^2 = 3b^2 \] 3. Cela implique que \( a^2 \) est un multiple de 3, donc \( a \) doit aussi être un multiple de 3 (car si un carré est un multiple d'un nombre premier, alors la base l'est aussi). 4. Écrivons \( a = 3k \) pour un certain entier \( k \). En substituant dans l'équation, nous avons : \[ (3k)^2 = 3b^2 \implies 9k^2 = 3b^2 \implies b^2 = 3k^2 \] 5. Cela implique que \( b^2 \) est aussi un multiple de 3, donc \( b \) est un multiple de 3. 6. Ainsi, \( a \) et \( b \) sont tous deux des multiples de 3, ce qui contredit le fait que \( \frac{a}{b} \) est sous forme irréductible. Donc, \( \sqrt{3} \notin \mathbb{Q} \). --- **b)** Montrons que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( \sqrt{4n + 3} \notin \mathbb{N} \). 1. Supposons par l'absurde que \( \sqrt{4n + 3} \in \mathbb{N} \). Cela signifie qu'il existe un entier \( k \) tel que \( \sqrt{4n + 3} = k \). 2. En élevant au carré, nous avons : \[ 4n + 3 = k^2 \implies 4n = k^2 - 3 \implies n = \frac{k^2 - 3}{4} \] 3. Pour que \( n \) soit un entier, \( k^2 - 3 \) doit être un multiple de 4. Analysons \( k^2 \) modulo 4 : - Si \( k \) est pair, alors \( k^2 \equiv 0 \mod 4 \). - Si \( k \) est impair, alors \( k^2 \equiv 1 \mod 4 \). 4. Dans les deux cas, \( k^2 - 3 \) ne peut pas être un multiple de 4 : - Si \( k \) est pair : \( k^2 - 3 \equiv 0 - 3 \equiv 1 \mod 4 \). - Si \( k \) est impair : \( k^2 - 3 \equiv 1 - 3 \equiv -2 \equiv 2 \mod 4 \). 5. Dans les deux cas, \( k^2 - 3 \) n'est pas un multiple de 4, donc \( n \) ne peut pas être un entier. Ainsi, nous avons montré que \( \sqrt{4n + 3} \notin \mathbb{N} \).