Dibuje la región cuya área está dada por la fórmula. \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi^{2}}{36}+\frac{k \pi^{2}}{36 n}+\frac{\pi^{2}}{144} \frac{k^{2}}{n^{2}}\right) \frac{\pi}{6} \) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \cos \left(\frac{\pi^{2}}{36}+\frac{k \pi^{2}}{36 n}+\frac{\pi^{2}}{144} \frac{k^{2}}{n^{2}}\right) \frac{\pi}{24} \)

Para entender la región cuya área está dada por las fórmulas que has proporcionado, primero debemos analizar las expresiones que aparecen en los límites. Ambas expresiones son sumas que se asemejan a integrales en el límite cuando \( n \) tiende a infinito. Vamos a descomponer cada una de ellas. ### Primera expresión La primera expresión es: \[ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi^{2}}{36}+\frac{k \pi^{2}}{36 n}+\frac{\pi^{2}}{144} \frac{k^{2}}{n^{2}}\right) \frac{\pi}{6} \] Podemos identificar que la suma se puede interpretar como una aproximación a una integral. La variable \( k/n \) se puede considerar como una variable continua \( x \) que varía de 0 a 1 cuando \( n \) tiende a infinito. La expresión dentro del seno se puede simplificar y analizar para determinar el rango de \( x \). ### Segunda expresión La segunda expresión es: \[ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \cos \left(\frac{\pi^{2}}{36}+\frac{k \pi^{2}}{36 n}+\frac{\pi^{2}}{144} \frac{k^{2}}{n^{2}}\right) \frac{\pi}{24} \] De manera similar, esta suma también se puede interpretar como una integral en el límite. ### Análisis de las funciones Ambas expresiones involucran funciones trigonométricas (seno y coseno) que dependen de una combinación de términos que incluyen \( k/n \) y \( k^2/n^2 \). Esto sugiere que estamos tratando con una región en el plano que está relacionada con las funciones seno y coseno. ### Dibujo de la región Para dibujar la región, podemos considerar lo siguiente: 1. **Identificar el rango de las funciones**: Las funciones seno y coseno oscilan entre -1 y 1. Por lo tanto, la región que estamos buscando estará limitada por estos valores. 2. **Ejes de coordenadas**: Podemos usar un sistema de coordenadas donde el eje \( x \) representa el argumento de las funciones y el eje \( y \) representa el valor de las funciones seno y coseno. 3. **Dibujo**: La región que se forma será la intersección de las gráficas de \( y = \sin(x) \) y \( y = \cos(x) \) en el intervalo que se determina por los límites de las funciones en las expresiones. ### Conclusión Para un dibujo más preciso, sería ideal calcular los límites exactos de las funciones y determinar el intervalo específico en el que se encuentran. Sin embargo, en términos generales, la región que se describe por las sumas en los límites es la que está delimitada por las gráficas de las funciones seno y coseno en el intervalo correspondiente. Si necesitas un gráfico específico, se puede realizar utilizando software de graficación o a mano, asegurando que se marquen las intersecciones y el área entre las curvas.