Cierto planeta \( A \) tarda 150 dias en completar una órita alrededor del SoL. Otro planela \( \operatorname{si} \) def mismo sistema solar lo hace en 225 dias. Si cierto día ambos planetas estan alineados con ef Sol, ¿cuánto tardarán en volver a estarlo?

Para resolver el problema, necesitamos encontrar el tiempo que tardan los planetas \( A \) y \( B \) en volver a estar alineados con el Sol después de haber estado alineados. Los planetas tienen períodos orbitales de: - Planeta \( A \): \( T_A = 150 \) días - Planeta \( B \): \( T_B = 225 \) días Para determinar cuándo volverán a estar alineados, debemos encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de sus períodos orbitales. 1. **Descomposición en factores primos**: - \( 150 = 2 \times 3 \times 5^2 \) - \( 225 = 3^2 \times 5^2 \) 2. **MCM**: Para calcular el MCM, tomamos el mayor exponente de cada factor primo que aparece en las descomposiciones: - Para el \( 2 \): \( 2^1 \) - Para el \( 3 \): \( 3^2 \) - Para el \( 5 \): \( 5^2 \) Entonces, el MCM es: \[ \text{MCM} = 2^1 \times 3^2 \times 5^2 = 2 \times 9 \times 25 \] Calculamos: \[ 2 \times 9 = 18 \] \[ 18 \times 25 = 450 \] Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de \( 150 \) y \( 225 \) es \( 450 \) días. Esto significa que los planetas \( A \) y \( B \) volverán a estar alineados con el Sol después de \( 450 \) días.