2) Use la forma polar del número complejo dado para hacer las operaciones que se piden: (Use el Teorema de Moivre) a) Para \( z=\sqrt{5}-\sqrt{5} i \) calcule \( z^{12} \). b) Para \( z=-3-3 i \) calcule \( z^{6} \). c) Para \( z=-6+i \) calcule \( z^{5} \). d) Para \( w=-1.5 i \) calcule \( w^{10} \)

Para resolver los problemas, primero convertiremos cada número complejo a su forma polar y luego aplicaremos el Teorema de Moivre, que establece que si \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \), entonces \( z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)) \). ### a) Para \( z = \sqrt{5} - \sqrt{5} i \) 1. **Encontrar el módulo \( r \)**: \[ r = |z| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{5 + 5} = \sqrt{10} \] 2. **Encontrar el argumento \( \theta \)**: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\right) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} \] (El número complejo está en el cuarto cuadrante). 3. **Forma polar**: \[ z = \sqrt{10} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \] 4. **Aplicar el Teorema de Moivre**: \[ z^{12} = (\sqrt{10})^{12} \left( \cos\left(12 \cdot -\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(12 \cdot -\frac{\pi}{4}\right) \right) \] \[ = 10^6 \left( \cos\left(-3\pi\right) + i \sin\left(-3\pi\right) \right) \] \[ = 10^6 \left( -1 + 0i \right) = -10^6 \] ### b) Para \( z = -3 - 3i \) 1. **Encontrar el módulo \( r \)**: \[ r = |z| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] 2. **Encontrar el argumento \( \theta \)**: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-3}{-3}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \] (El número complejo está en el tercer cuadrante, así que sumamos \( \pi \)): \[ \theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \] 3. **Forma polar**: \[ z = 3\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right) \] 4. **Aplicar el Teorema de Moivre**: \[ z^{6} = (3\sqrt{2})^{6} \left( \cos\left(6 \cdot \frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(6 \cdot \frac{5\pi}{4}\right) \right) \] \[ = 54 \cdot 8 \left( \cos\left(\frac{30\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{30\pi}{4}\right) \right) \] \[ = 432 \left( \cos\left(\frac{15\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{15\pi}{2}\right) \right) \] \[ = 432 \left( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \right) = 432(0 - 1i) = -432i \] ### c) Para \( z = -6 + i \) 1. **Encontrar el módulo \( r \)**: \[ r = |z| = \sqrt{(-6)^2 + (1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \] 2. **Encontrar el