1. Sean los dos números \(x\) y \(y\).
2. Dado que:
   \[x + y = 42 \quad \text { y} \quad xy = 405\]
3. Expresa \(y\) en términos de \(x\):
   \[y = 42 - x\]
4. Sustituye \(y\) en la ecuación del producto:
   \[x( 42 - x) = 405\]
5. Simplifica y resuelve la ecuación cuadrática:
   \[x^ 2 - 42x + 405 = 0\]
6. Usa la fórmula cuadrática \(x = \frac { - b \pm \sqrt { b^ 2 - 4ac} } { 2a} \), donde \(a = 1\), \(b = - 42\), y \(c = 405\):
   \[x = \frac { 42 \pm \sqrt { 42^ 2 - 4 \cdot 1 \cdot 405} } { 2 \cdot 1} \]
   \[x = \frac { 42 \pm \sqrt { 1764 - 1620} } { 2} \]
   \[x = \frac { 42 \pm \sqrt { 144} } { 2} \]
   \[x = \frac { 42 \pm 12} { 2} \]
7. Resuelve para \(x\):
   \[x = \frac { 42 + 12} { 2} = 27 \quad \text { o} \quad x = \frac { 42 - 12} { 2} = 15\]
8. Por lo tanto, los dos números son \(15\) y \(27\).
    

Conocimiento Suplementario

En álgebra, resolver problemas que involucran dos números con condiciones dadas a menudo requiere establecer y resolver un sistema de ecuaciones. Esto implica usar métodos algebraicos para encontrar valores que satisfagan todas las condiciones dadas simultáneamente.
Por ejemplo, si necesitas encontrar dos números que sumen un cierto valor y tengan un producto específico, puedes establecer dos ecuaciones basadas en estas condiciones. Denotemos los dos números como \(x\) y \(y\). Las ecuaciones serían:

\(x + y = 42\)

\(xy = 405\)
Para resolver este sistema, puedes usar métodos de sustitución o eliminación. La sustitución implica expresar una variable en términos de la otra a partir de una ecuación y luego sustituirla en la segunda ecuación.
 

Conexiones con la Vida Real

Entender cómo resolver sistemas de ecuaciones es increíblemente útil en varios escenarios de la vida real, como presupuestar, planificar eventos o incluso en tareas de ingeniería donde se deben cumplir múltiples restricciones simultáneamente.
Imagina que estás organizando una fiesta con una restricción de presupuesto (costo total) y requisitos específicos para comida y bebidas (producto). Al establecer ecuaciones que representen estas restricciones, puedes determinar las cantidades exactas necesarias sin exceder tu presupuesto.
 

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