12.- Una compañia de televisión por cable da servicio a 5000 hogares y cobra 220 pesos al mes. Una investigación de mercado indica que por cada \( \$ 5.00 \) que aumente el precio se perderán 100 clientes. Calcular el precio mensual que dará la mayor ganancia.

Para encontrar el precio mensual que dará la mayor ganancia, primero necesitamos establecer una función que represente las ganancias de la compañía en función del precio mensual. Sea: - \( P \) el precio mensual por hogar. - \( C \) el número de hogares a los que se les da servicio. - \( G \) las ganancias mensuales. Dado que la compañía da servicio a 5000 hogares y cobra 220 pesos al mes, podemos establecer la función de las ganancias mensuales de la siguiente manera: \[ G = P \times C - 100 \times \frac{P - 220}{5} \] Donde: - \( P \times C \) representa las ganancias totales por el precio mensual por hogar multiplicado por el número de hogares. - \( 100 \times \frac{P - 220}{5} \) representa las pérdidas en ganancias debido a la pérdida de clientes por el aumento en el precio. Para encontrar el precio mensual que dará la mayor ganancia, necesitamos maximizar la función de las ganancias mensuales \( G \) con respecto al precio mensual \( P \). Vamos a calcular la derivada de la función de las ganancias mensuales con respecto al precio mensual y encontrar el valor de \( P \) que maximiza las ganancias. Evaluate the derivative by following steps: - step0: Evaluate the derivative: \(\frac{d}{dP}\left(P\times 5000-\frac{100\left(P-220\right)}{5}\right)\) - step1: Reduce the fraction: \(\frac{d}{dP}\left(P\times 5000-20\left(P-220\right)\right)\) - step2: Reorder the terms: \(\frac{d}{dP}\left(5000P-20\left(P-220\right)\right)\) - step3: Subtract the terms: \(\frac{d}{dP}\left(4980P+4400\right)\) - step4: Use differentiation rules: \(\frac{d}{dP}\left(4980P\right)+\frac{d}{dP}\left(4400\right)\) - step5: Calculate: \(4980+0\) - step6: Remove 0: \(4980\) La derivada de la función de las ganancias mensuales con respecto al precio mensual es \( 4980 \). Para encontrar el precio mensual que dará la mayor ganancia, necesitamos encontrar el valor de \( P \) que maximiza las ganancias. Dado que la derivada de la función de las ganancias mensuales es constante y igual a 4980, esto indica que la función de las ganancias mensuales no tiene un máximo o mínimo absoluto. Por lo tanto, el precio mensual que dará la mayor ganancia es el precio actual de 220 pesos al mes.