Questão 2 Considere \( a \) e \( b \) dois caracteres distintos e \( A=\left\{a^{i} b^{j} \mid i, j \in \mathbb{N}\right\} \) (a) Exibe uma função injetora que não seja sobrejetora de \( \mathbb{N} \) para \( A \).

Para construir uma função injetora que não seja sobrejetora de \(\mathbb{N}\) para o conjunto \( A = \{ a^i b^j \mid i, j \in \mathbb{N} \} \), precisamos primeiro entender a estrutura do conjunto \( A \). Os elementos de \( A \) são cadeias formadas por \( a \) e \( b \), onde \( i \) e \( j \) são números naturais (incluindo zero). Assim, \( A \) inclui cadeias como \( \epsilon \) (a cadeia vazia, onde \( i = 0 \) e \( j = 0 \)), \( a \), \( b \), \( aa \), \( ab \), \( aab \), \( abb \), \( ba \), \( bb \), e assim por diante. Uma maneira de definir uma função injetora \( f: \mathbb{N} \to A \) é mapear cada número natural \( n \) para uma cadeia específica em \( A \). Por exemplo, podemos definir a função \( f \) da seguinte forma: \[ f(n) = a^n \] onde \( n \in \mathbb{N} \). ### Verificação da Injetividade: Para mostrar que \( f \) é injetora, precisamos mostrar que se \( f(n_1) = f(n_2) \), então \( n_1 = n_2 \). Se \( f(n_1) = f(n_2) \), temos: \[ a^{n_1} = a^{n_2} \] Como \( a \) é um caractere distinto e não pode ser igual a \( b \), isso implica que \( n_1 = n_2 \). Portanto, \( f \) é injetora. ### Verificação da Não-Sobrejetividade: Agora, precisamos mostrar que \( f \) não é sobrejetora. Para que \( f \) seja sobrejetora, cada elemento de \( A \) deve ser atingido por algum \( n \in \mathbb{N} \). No entanto, a função \( f(n) = a^n \) só gera cadeias que consistem apenas de \( a \) e não gera cadeias que contêm \( b \) (por exemplo, \( b \), \( ab \), \( a^2b \), etc.). Portanto, existem muitos elementos em \( A \) que não são da forma \( a^n \) para algum \( n \in \mathbb{N} \), como \( b \), \( ab \), \( a^2b \), etc. Isso mostra que \( f \) não é sobrejetora. ### Conclusão: A função \( f: \mathbb{N} \to A \) definida por \( f(n) = a^n \) é uma função injetora que não é sobrejetora.