Parry Wang
07/27/2024 · Junior High School
Сумма второго и четвёртого членов арифметической про. грессии равна 7 , а произведение этих членов равно 10 . Найдите прогрессию.
UpStudy ThothAI Solution
Tutor-Verified Answer
Step-by-step Solution
Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность прогрессии как \( d \). Тогда второй и четвёртый члены можно выразить следующим образом:
- Второй член: \( a + d \)
- Четвёртый член: \( a + 3d \)
Согласно условию задачи, сумма второго и четвёртого членов равна 7:
\[
(a + d) + (a + 3d) = 7
\]
Упрощая это уравнение, получаем:
\[
2a + 4d = 7
\]
Разделим всё на 2:
\[
a + 2d = \frac{7}{2} \quad (1)
\]
Также по условию, произведение второго и четвёртого членов равно 10:
\[
(a + d)(a + 3d) = 10
\]
Раскроем скобки:
\[
a^2 + 3ad + ad + 3d^2 = 10
\]
Упрощая, получаем:
\[
a^2 + 4ad + 3d^2 = 10 \quad (2)
\]
Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) выразим \( a \):
\[
a = \frac{7}{2} - 2d
\]
Подставим это значение в уравнение (2):
\[
\left(\frac{7}{2} - 2d\right)^2 + 4\left(\frac{7}{2} - 2d\right)d + 3d^2 = 10
\]
Раскроем скобки:
\[
\left(\frac{49}{4} - 14d + 4d^2\right) + \left(14d - 8d^2\right) + 3d^2 = 10
\]
Соберем все члены:
\[
\frac{49}{4} - 14d + 4d^2 + 14d - 8d^2 + 3d^2 = 10
\]
Упрощаем:
\[
\frac{49}{4} - d^2 = 10
\]
Переносим 10 в левую часть:
\[
\frac{49}{4} - 10 = d^2
\]
Приведем 10 к общему знаменателю:
\[
\frac{49}{4} - \frac{40}{4} = d^2
\]
Таким образом:
\[
\frac{9}{4} = d^2
\]
Следовательно:
\[
d = \frac{3}{2} \quad \text{или} \quad d = -\frac{3}{2}
\]
Теперь подставим значение \( d \) обратно в уравнение (1) для нахождения \( a \).
1. Если \( d = \frac{3}{2} \):
\[
a + 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{7}{2}
\]
\[
a + 3 = \frac{7}{2}
\]
\[
a = \frac{7}{2} - 3 = \frac{7}{2} - \frac{6}{2} = \frac{1}{2}
\]
2. Если \( d = -\frac{3}{2} \):
\[
a + 2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{7}{2}
\]
\[
a - 3 = \frac{7}{2}
\]
\[
a = \frac{7}{2} + 3 = \frac{7}{2} + \frac{6}{2} = \frac{13}{2}
\]
Теперь у нас есть два возможных варианта для прогрессии:
1. \( a = \frac{1}{2}, d = \frac{3}{2} \):
- Первый член: \( \frac{1}{2} \)
- Второй член: \( 2 \)
- Третий член: \( \frac{5}{2} \)
- Четвёртый член: \( 4 \)
Прогрессия: \( \frac{1}{2}, 2, \frac{5}{2}, 4, \ldots \)
2. \( a = \frac{13}{2}, d = -\frac{3}{2} \):
Quick Answer
Прогрессия может быть \( \frac{1}{2}, 2, \frac{5}{2}, 4, \ldots \) или \( \frac{13}{2}, 10, 6.5, 4, \ldots \).
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
UpStudy ThothAI
Self-Developed and Ever-Improving
Thoth AI product is constantly being upgraded and optimized.
Covers All Major Subjects
Capable of handling homework in math, chemistry, biology, physics, and more.
Instant and Accurate
Provides immediate and precise solutions and guidance.
Try Now
Ask Tutors
Ask AI
10x
Fastest way to Get Answers & Solutions
By text
Enter your question here…
By image
Re-Upload
Submit