3. Determina el rango de las siguientes funciones a. \( f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}} \)

Para determinar el rango de la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+3}} \), primero debemos analizar la expresión dentro de la raíz cuadrada, ya que la raíz cuadrada solo está definida para valores no negativos. 1. **Condición de la raíz cuadrada**: \[ \frac{x-1}{x+3} \geq 0 \] Esto implica que el numerador y el denominador deben tener el mismo signo. Analicemos los puntos críticos: - El numerador \( x - 1 = 0 \) cuando \( x = 1 \). - El denominador \( x + 3 = 0 \) cuando \( x = -3 \). Ahora, evaluamos los signos de la fracción en los intervalos determinados por estos puntos críticos: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 1) \), y \( (1, \infty) \). - **Intervalo \( (-\infty, -3) \)**: - \( x - 1 < 0 \) y \( x + 3 < 0 \) \(\Rightarrow\) \( \frac{x-1}{x+3} > 0 \). - **Intervalo \( (-3, 1) \)**: - \( x - 1 < 0 \) y \( x + 3 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( \frac{x-1}{x+3} < 0 \). - **Intervalo \( (1, \infty) \)**: - \( x - 1 > 0 \) y \( x + 3 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( \frac{x-1}{x+3} > 0 \). Resumiendo, la fracción \( \frac{x-1}{x+3} \) es no negativa en los intervalos \( (-\infty, -3) \) y \( (1, \infty) \). 2. **Valores en los puntos críticos**: - En \( x = 1 \): \[ f(1) = \sqrt{\frac{1-1}{1+3}} = \sqrt{0} = 0. \] - En \( x = -3 \): \[ f(-3) \text{ no está definido (denominador cero)}. \] 3. **Comportamiento en los intervalos**: - En el intervalo \( (-\infty, -3) \), \( f(x) \) toma valores positivos, ya que \( \frac{x-1}{x+3} > 0 \). - En el intervalo \( (1, \infty) \), \( f(x) \) también toma valores positivos y se aproxima a \( \infty \) a medida que \( x \) crece. 4. **Rango de la función**: - En el intervalo \( (-\infty, -3) \), \( f(x) \) puede tomar cualquier valor positivo. - En el intervalo \( (1, \infty) \), \( f(x) \) también puede tomar cualquier valor positivo. Por lo tanto, el rango de la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+3}} \) es: \[ \text{Rango} = [0, \infty). \]