11)Paci a ecuacoos a) \( y=5 x+2 \) b) \( y=-3 x-13 \) d) \( y=-\frac{2}{3} x+\frac{1}{3} \)

Para encontrar las intersecciones de las ecuaciones dadas, podemos igualar las ecuaciones entre sí. Vamos a resolver el sistema de ecuaciones formado por las tres ecuaciones que has proporcionado. 1. **Ecuaciones dadas:** - \( y = 5x + 2 \) (a) - \( y = -3x - 13 \) (b) - \( y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \) (d) ### Paso 1: Intersección entre (a) y (b) Igualamos las ecuaciones (a) y (b): \[ 5x + 2 = -3x - 13 \] Sumamos \(3x\) a ambos lados: \[ 5x + 3x + 2 = -13 \] \[ 8x + 2 = -13 \] Restamos 2 de ambos lados: \[ 8x = -15 \] Dividimos entre 8: \[ x = -\frac{15}{8} \] Ahora sustituimos \(x\) en la ecuación (a) para encontrar \(y\): \[ y = 5\left(-\frac{15}{8}\right) + 2 = -\frac{75}{8} + 2 = -\frac{75}{8} + \frac{16}{8} = -\frac{59}{8} \] Por lo tanto, la intersección entre (a) y (b) es: \[ \left(-\frac{15}{8}, -\frac{59}{8}\right) \] ### Paso 2: Intersección entre (a) y (d) Igualamos las ecuaciones (a) y (d): \[ 5x + 2 = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \] Multiplicamos toda la ecuación por 3 para eliminar el denominador: \[ 15x + 6 = -2x + 1 \] Sumamos \(2x\) a ambos lados: \[ 15x + 2x + 6 = 1 \] \[ 17x + 6 = 1 \] Restamos 6 de ambos lados: \[ 17x = -5 \] Dividimos entre 17: \[ x = -\frac{5}{17} \] Sustituimos \(x\) en la ecuación (a) para encontrar \(y\): \[ y = 5\left(-\frac{5}{17}\right) + 2 = -\frac{25}{17} + 2 = -\frac{25}{17} + \frac{34}{17} = \frac{9}{17} \] Por lo tanto, la intersección entre (a) y (d) es: \[ \left(-\frac{5}{17}, \frac{9}{17}\right) \] ### Paso 3: Intersección entre (b) y (d) Igualamos las ecuaciones (b) y (d): \[ -3x - 13 = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \] Multiplicamos toda la ecuación por 3: \[ -9x - 39 = -2x + 1 \] Sumamos \(2x\) a ambos lados: \[ -9x + 2x - 39 = 1 \] \[ -7x - 39 = 1 \] Sumamos 39 a ambos lados: \[ -7x = 40 \] Dividimos entre -7: \[ x = -\frac{40}{7} \] Sustituimos \(x\) en la ecuación (b) para encontrar \(y\): \[ y = -3\left(-\frac{40}{7}\right) - 13 = \frac{120}{7} - 13 = \frac{120}{7} - \frac{91}{7} = \frac{29}{7} \] Por lo tanto, la intersección entre (b) y (d) es: \[ \left(-\frac{40}{7}, \frac{29}{7}\right) \] ### Resumen de las intersecciones: 1. Intersección entre (a) y (b): \(\left(-\frac{15}{8}, -\frac{59}{8}\right)\) 2. Intersección entre (a) y (d): \(\left(-\frac