213 Somma e rapporto In un triangolo la base è \( i \frac{5}{9} \) dell'altezza e la loro somma è 28 dm . Calcola l'area del triangolo.

Sia \( b \) la base del triangolo e \( h \) l'altezza. Dalla condizione del problema, abbiamo: \[ b = i \frac{5}{9} h \] Inoltre, sappiamo che la somma della base e dell'altezza è 28 dm: \[ b + h = 28 \] Sostituiamo l'espressione per \( b \) nella seconda equazione: \[ i \frac{5}{9} h + h = 28 \] Raccogliamo \( h \): \[ \left( i \frac{5}{9} + 1 \right) h = 28 \] Convertiamo \( 1 \) in una frazione con denominatore 9: \[ 1 = \frac{9}{9} \] Quindi: \[ \left( i \frac{5}{9} + \frac{9}{9} \right) h = 28 \] Semplificando: \[ \left( i \frac{5 + 9}{9} \right) h = 28 \] \[ \left( i \frac{14}{9} \right) h = 28 \] Ora isoliamo \( h \): \[ h = 28 \cdot \frac{9}{14} = 18 \] Ora possiamo calcolare \( b \): \[ b = i \frac{5}{9} h = i \frac{5}{9} \cdot 18 = 10 \] Ora abbiamo la base \( b = 10 \) dm e l'altezza \( h = 18 \) dm. L'area \( A \) del triangolo è data dalla formula: \[ A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \] Sostituendo i valori: \[ A = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 18 = 90 \text{ dm}^2 \] Quindi, l'area del triangolo è \( \boxed{90} \) dm².