[Giochi di Archimede, 2011] La somma di tre numeri interi, \( a, b \) oppure 6. \( b \) per \( a \) dà come risultato \( a

Per risolvere il problema, iniziamo a tradurre le informazioni fornite in equazioni e disuguaglianze. Abbiamo tre numeri interi \( a \), \( b \) e \( c \) tali che: 1. La somma dei tre numeri è 6: \[ a + b + c = 6 \] 2. La relazione tra i numeri è \( a < b < c \). 3. Non è chiaro cosa significhi "b per a dà come risultato", ma possiamo interpretarlo come un'operazione che coinvolge \( a \) e \( b \). Potremmo considerare che \( b \) è un multiplo di \( a \) o che ci sia una relazione di prodotto, ma senza ulteriori dettagli, ci concentreremo sulla somma e sull'ordine. Iniziamo a esprimere \( c \) in funzione di \( a \) e \( b \): \[ c = 6 - a - b \] Ora, sostituendo \( c \) nell'ineguaglianza \( a < b < c \), otteniamo: 1. \( a < b \) 2. \( b < 6 - a - b \) Dalla seconda disuguaglianza, possiamo riscrivere: \[ b < 6 - a - b \] \[ 2b < 6 - a \] \[ b < \frac{6 - a}{2} \] Ora, consideriamo i valori interi per \( a \) e \( b \) che soddisfano queste condizioni. Poiché \( a \) deve essere minore di \( b \) e entrambi devono essere numeri interi, possiamo provare alcuni valori per \( a \): 1. Se \( a = 0 \): - \( b < \frac{6 - 0}{2} = 3 \) - Possibili valori per \( b \) sono 1 o 2. - Se \( b = 1 \), allora \( c = 6 - 0 - 1 = 5 \) → \( 0 < 1 < 5 \) (valido) - Se \( b = 2 \), allora \( c = 6 - 0 - 2 = 4 \) → \( 0 < 2 < 4 \) (valido) 2. Se \( a = 1 \): - \( b < \frac{6 - 1}{2} = 2.5 \) - Possibile valore per \( b \) è solo 2. - Se \( b = 2 \), allora \( c = 6 - 1 - 2 = 3 \) → \( 1 < 2 < 3 \) (valido) 3. Se \( a = 2 \): - \( b < \frac{6 - 2}{2} = 2 \) - Non ci sono valori validi per \( b \) che soddisfano \( a < b \). Riassumendo, i tripli validi sono: - \( (0, 1, 5) \) - \( (0, 2, 4) \) - \( (1, 2, 3) \) Quindi, i tre numeri interi che soddisfano le condizioni sono: - \( (0, 1, 5) \) - \( (0, 2, 4) \) - \( (1, 2, 3) \)