Un trapezio isoscele, con l'area di \( 355 \mathrm{~cm}^{2} \), ha la somma e la differenza delle basi di 71 cm e 15 cm . Calcola il perimetro.

Per risolvere il problema, iniziamo a definire le basi del trapezio isoscele. Siano \( b_1 \) e \( b_2 \) le due basi, con \( b_1 > b_2 \). Dalla somma e dalla differenza delle basi, abbiamo: \[ b_1 + b_2 = 71 \, \text{cm} \] \[ b_1 - b_2 = 15 \, \text{cm} \] Possiamo risolvere questo sistema di equazioni. Sommiamo le due equazioni: \[ (b_1 + b_2) + (b_1 - b_2) = 71 + 15 \] \[ 2b_1 = 86 \implies b_1 = 43 \, \text{cm} \] Ora sostituiamo \( b_1 \) nella prima equazione per trovare \( b_2 \): \[ 43 + b_2 = 71 \implies b_2 = 71 - 43 = 28 \, \text{cm} \] Quindi, le basi del trapezio sono \( b_1 = 43 \, \text{cm} \) e \( b_2 = 28 \, \text{cm} \). Ora possiamo calcolare l'altezza \( h \) del trapezio usando la formula dell'area: \[ A = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \] Sostituendo i valori noti: \[ 355 = \frac{(43 + 28) \cdot h}{2} \] \[ 355 = \frac{71 \cdot h}{2} \] \[ 710 = 71h \implies h = \frac{710}{71} = 10 \, \text{cm} \] Ora che abbiamo l'altezza, possiamo calcolare i lati obliqui del trapezio isoscele. Per fare ciò, consideriamo il triangolo rettangolo che si forma tracciando le altezze dai vertici delle basi. La base maggiore \( b_1 \) è 43 cm e la base minore \( b_2 \) è 28 cm. La differenza tra le basi è: \[ b_1 - b_2 = 43 - 28 = 15 \, \text{cm} \] Poiché il trapezio è isoscele, la differenza di 15 cm si distribuisce equamente sui due lati, quindi ogni lato obliquo forma un triangolo rettangolo con un cateto di \( \frac{15}{2} = 7.5 \, \text{cm} \) e l'altro cateto di \( h = 10 \, \text{cm} \). Possiamo ora calcolare la lunghezza del lato obliquo \( l \) usando il teorema di Pitagora: \[ l = \sqrt{(7.5)^2 + (10)^2} = \sqrt{56.25 + 100} = \sqrt{156.25} = 12.5 \, \text{cm} \] Ora possiamo calcolare il perimetro \( P \) del trapezio: \[ P = b_1 + b_2 + 2l = 43 + 28 + 2 \cdot 12.5 = 43 + 28 + 25 = 96 \, \text{cm} \] Quindi, il perimetro del trapezio isoscele è: \[ \boxed{96 \, \text{cm}} \]