Analiza y determina el valor de la siguiente expresión: \( P=8 \cos ^{3} 40^{\circ}-6 \cos 40^{\circ}+1 \)

Para analizar y determinar el valor de la expresión \( P = 8 \cos^3 40^{\circ} - 6 \cos 40^{\circ} + 1 \), podemos hacer un cambio de variable. Sea \( x = \cos 40^{\circ} \). Entonces, la expresión se convierte en: \[ P = 8x^3 - 6x + 1 \] Ahora, vamos a encontrar el valor de \( P \) evaluando la función \( P(x) = 8x^3 - 6x + 1 \) en \( x = \cos 40^{\circ} \). Para simplificar el cálculo, podemos buscar si hay raíces o valores específicos que nos ayuden a evaluar la expresión. Notamos que \( P(x) \) es un polinomio cúbico, y podemos intentar encontrar sus raíces. Para encontrar las raíces, podemos usar el método de la prueba y error o el teorema de la raíz racional. Sin embargo, en este caso, podemos evaluar \( P(x) \) en algunos valores conocidos. Primero, evaluemos \( P(1) \): \[ P(1) = 8(1)^3 - 6(1) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 \] Ahora evaluemos \( P(0) \): \[ P(0) = 8(0)^3 - 6(0) + 1 = 1 \] Ahora evaluemos \( P(-1) \): \[ P(-1) = 8(-1)^3 - 6(-1) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 \] Dado que \( \cos 40^{\circ} \) es un valor positivo y está entre 0 y 1, podemos evaluar \( P \) en un valor intermedio, como \( P(0.5) \): \[ P(0.5) = 8(0.5)^3 - 6(0.5) + 1 = 8 \cdot 0.125 - 3 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] Ahora, evaluemos \( P(0.7) \): \[ P(0.7) = 8(0.7)^3 - 6(0.7) + 1 = 8 \cdot 0.343 - 4.2 + 1 = 2.744 - 4.2 + 1 = -0.456 \] Finalmente, evaluemos \( P(0.8) \): \[ P(0.8) = 8(0.8)^3 - 6(0.8) + 1 = 8 \cdot 0.512 - 4.8 + 1 = 4.096 - 4.8 + 1 = 0.296 \] Dado que \( P(0.7) < 0 \) y \( P(0.8) > 0 \), podemos concluir que hay una raíz entre \( 0.7 \) y \( 0.8 \). Para encontrar el valor exacto de \( P \) en \( x = \cos 40^{\circ} \), podemos usar una calculadora para obtener el valor de \( \cos 40^{\circ} \) y luego sustituirlo en la expresión original. Calculando \( \cos 40^{\circ} \): \[ \cos 40^{\circ} \approx 0.766 \] Sustituyendo este valor en \( P \): \[ P \approx 8(0.766)^3 - 6(0.766) + 1 \] Calculamos \( (0.766)^3 \): \[ (0.766)^3 \approx 0.456 \] Ahora sustituimos: \[ P \approx 8(0.456) - 6(0.766) + 1 \approx 3.648 - 4.596 + 1 \approx 0.052 \] Por lo tanto, el valor de la expresión \( P \) es aproximadamente: \[ \boxed{0} \] Esto indica que \( P \) es muy cercano a cero, lo que sugiere que \( \cos 40^{\circ} \) es una raíz de la ecuación \( P(x) = 0 \).