43 Soient les nombres complexes \( z_{1}=\frac{4-\mathrm{i}}{3+2 \mathrm{i}} \) et \( z_{2}=\frac{4+\mathrm{i}}{3-2 \mathrm{i}} \). 1. Vérifier que \( z_{1}+z_{2} \) est un nombre réel. 2. Que peut-on en déduire pour les parties imaginaires de \( z_{1} \) et \( z_{2} \) ? 3. Vérifier que \( z_{1}-z_{2} \) est un nombre imaginaire pur. 4. Que peut-on en déduire pour les parties réelles de \( z_{1} \) et \( z_{2} \) ?

1. **Vérifier que \( z_{1}+z_{2} \) est un nombre réel.** Pour vérifier que \( z_{1}+z_{2} \) est un nombre réel, nous devons d'abord trouver les valeurs de \( z_{1} \) et \( z_{2} \). Pour \( z_{1} \): \[ z_{1} = \frac{4-\mathrm{i}}{3+2\mathrm{i}} \] Pour simplifier, nous multiplions le numerator et le denominator par la conjugué de \( 3+2\mathrm{i} \), c'est-à-dire \( 3-2\mathrm{i} \): \[ z_{1} = \frac{(4-\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})}{(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})} \] \[ z_{1} = \frac{12 - 8\mathrm{i} - 3\mathrm{i} + 2}{9 + 4} \] \[ z_{1} = \frac{14 - 11\mathrm{i}}{13} \] \[ z_{1} = \frac{14}{13} - \frac{11}{13}\mathrm{i} \] Pour \( z_{2} \): \[ z_{2} = \frac{4+\mathrm{i}}{3-2\mathrm{i}} \] Nous multiplions le numerator et le denominator par la conjugué de \( 3-2\mathrm{i} \), c'est-à-dire \( 3+2\mathrm{i} \): \[ z_{2} = \frac{(4+\mathrm{i})(3+2\mathrm{i})}{(3-2\mathrm{i})(3+2\mathrm{i})} \] \[ z_{2} = \frac{12 + 8\mathrm{i} + 3\mathrm{i} + 2}{9 + 4} \] \[ z_{2} = \frac{14 + 11\mathrm{i}}{13} \] \[ z_{2} = \frac{14}{13} + \frac{11}{13}\mathrm{i} \] Maintenant, nous additionnons \( z_{1} \) et \( z_{2} \): \[ z_{1} + z_{2} = \left(\frac{14}{13} - \frac{11}{13}\mathrm{i}\right) + \left(\frac{14}{13} + \frac{11}{13}\mathrm{i}\right) \] \[ z_{1} + z_{2} = \frac{14}{13} + \frac{14}{13} + \left(-\frac{11}{13}\mathrm{i} + \frac{11}{13}\mathrm{i}\right) \] \[ z_{1} + z_{2} = \frac{28}{13} \] \[ z_{1} + z_{2} = 2.1538461538461537 \quad (\text{approximation}) \] Donc, \( z_{1} + z_{2} \) est bien un nombre réel. 2. **Que peut-on en déduire pour les parties imaginaires de \( z_{1} \) et \( z_{2} \) ?** Pour \( z_{1} \) et \( z_{2} \), les parties imaginaires sont \( -\frac{11}{13}\mathrm{i} \) et \( \frac{11}{13}\mathrm{i} \) respectivement. Nous avons vu que \( z_{1} + z_{2} \) est un nombre réel, ce qui signifie que les parties imaginaires de \( z_{1} \) et \( z_{2} \) sont opposées et de même magnitude. Cela est une condition nécessaire pour que la somme soit un nombre réel. 3. **Vérifier que \( z_{1}-z_{2} \) est un nombre imaginaire pur.** Pour vérifier que \( z_{1}-z_{2} \) est un nombre imaginaire pur, nous devons trouver sa valeur. \[ z_{1} - z_{2} = \left(\frac{14}{13} - \frac{11}{13}\mathrm{i}\right) - \left(\frac{14}{13} + \frac{11}{13}\mathrm{i}\right) \] \[ z_{1} - z_{2} = \frac{14}{13} - \frac{14}{13} - \frac{11}{13}\mathrm{i} - \frac{11}{13}\mathrm{i} \] \[ z_{1} - z_{2} = -\frac{