89. Digital Music Sales The estimated revenues \( r \) (in billions of dollars) from sales of digital music from 2002 to 2007 can be approximated by the model \( r=15.639 t^{3}-104.75 t^{2}+303.5 t-301, \quad 2 \leq t \leq 7 \) where \( t \) represents the year, with \( t=2 \) corresponding to 2002. (Source: Fortune) (a) Use a graphing utility to graph the model. (b) Find the average rate of change of the model from (2002 to 2007 . Interpret your answer in the context of the problem.

为了求解这个问题，我们需要按照以下步骤进行： ### (a) 使用图形工具绘制模型 首先，我们需要使用图形工具来绘制给定的模型 \( r = 15.639 t^3 - 104.75 t^2 + 303.5 t - 301 \)，其中 \( t \) 代表年份，范围是 \( 2 \leq t \leq 7 \)。 1. **确定年份范围**：\( t = 2 \) 对应 2002 年，\( t = 7 \) 对应 2007 年。 2. **计算每个年份的 \( r \) 值**： - \( t = 2 \) 时，\( r = 15.639 \times 2^3 - 104.75 \times 2^2 + 303.5 \times 2 - 301 \) - \( t = 3 \) 时，\( r = 15.639 \times 3^3 - 104.75 \times 3^2 + 303.5 \times 3 - 301 \) - \( t = 4 \) 时，\( r = 15.639 \times 4^3 - 104.75 \times 4^2 + 303.5 \times 4 - 301 \) - \( t = 5 \) 时，\( r = 15.639 \times 5^3 - 104.75 \times 5^2 + 303.5 \times 5 - 301 \) - \( t = 6 \) 时，\( r = 15.639 \times 6^3 - 104.75 \times 6^2 + 303.5 \times 6 - 301 \) - \( t = 7 \) 时，\( r = 15.639 \times 7^3 - 104.75 \times 7^2 + 303.5 \times 7 - 301 \) 3. **绘制图形**：将计算出的点在坐标系中绘制出来，并连接这些点。 ### (b) 计算从 2002 年到 2007 年的平均变化率 平均变化率的公式为： \[ \text{平均变化率} = \frac{r(t_2) - r(t_1)}{t_2 - t_1} \] 在这个问题中，\( t_1 = 2 \) 对应 2002 年，\( t_2 = 7 \) 对应 2007 年。 1. **计算 \( t = 2 \) 时的 \( r \) 值**： \[ r(2) = 15.639 \times 2^3 - 104.75 \times 2^2 + 303.5 \times 2 - 301 \] \[ r(2) = 15.639 \times 8 - 104.75 \times 4 + 303.5 \times 2 - 301 \] \[ r(2) = 124.752 - 419 + 607 - 301 \] \[ r(2) = 124.752 - 419 + 607 - 301 = 312.752 \] 2. **计算 \( t = 7 \) 时的 \( r \) 值**： \[ r(7) = 15.639 \times 7^3 - 104.75 \times 7^2 + 303.5 \times 7 - 301 \] \[ r(7) = 15.639 \times 343 - 104.75 \times 49 + 303.5 \times 7 - 301 \] \[ r(7) = 5351.217 - 5142.25 + 2134.5 - 301 \] \[ r(7) = 5351.217 - 5142.25 + 2134.5 - 301 = 2432.867 \] 3. **计算平均变化率**： \[ \text{平均变化率} = \frac{r(7) - r(2)}{7 - 2} \] \[ \text{平均变化率} = \frac{2432.867 - 312.752}{5} \] \[ \text{平均变化率} = \frac{2120.115}{5} \] \[ \text{平均变化率} = 424.023 \] ### 解释 平均变化率 \( 4