1356 Fanny arbetar på en pizzeria. På söndagarna tjänar hon \( 160 \mathrm{kr} / \mathrm{h} \), på lördagar \( 140 \mathrm{kr} / \mathrm{h} \) och övriga dagar \( 110 \mathrm{kr} / \mathrm{h} \). En vecka fick hon 3340 kr för totalt 25 timmar. a) Vad står variablerna \( x \) och y för i ekvationen 140x+160y \( +990=3340 \) ? b) Skriv ytterligare en ekvation som innehåller \( x \) och \( y \). c) Lös ekvationssystemet. d) Hur många timmar arbetade hon på söndagen?

För att lösa problemet, låt oss definiera variablerna och ställa upp ekvationerna. ### a) Vad står variablerna \( x \) och \( y \) för i ekvationen \( 140x + 160y + 990 = 3340 \)? Låt: - \( x \) = antal timmar Fanny arbetade på lördagar - \( y \) = antal timmar Fanny arbetade på söndagar Ekvationen \( 140x + 160y + 990 = 3340 \) representerar hennes totala inkomst från lördagar och söndagar, där \( 990 \) är en konstant som vi kommer att förklara senare. ### b) Skriv ytterligare en ekvation som innehåller \( x \) och \( y \). Vi vet att Fanny arbetade totalt 25 timmar under veckan. Därför kan vi skriva en ekvation för det totala antalet timmar: \[ x + y + z = 25 \] där \( z \) är antalet timmar hon arbetade på övriga dagar. Eftersom vi inte har information om \( z \) kan vi inte direkt inkludera det i ekvationen, men vi kan använda \( z \) för att formulera en annan ekvation. Vi kan också uttrycka \( z \) i termer av \( x \) och \( y \): \[ z = 25 - x - y \] ### c) Lös ekvationssystemet. Vi har nu två ekvationer: 1. \( 140x + 160y + 990 = 3340 \) 2. \( z = 25 - x - y \) För att lösa den första ekvationen, isolera \( 140x + 160y \): \[ 140x + 160y = 3340 - 990 \] \[ 140x + 160y = 2350 \] Nu har vi: 1. \( 140x + 160y = 2350 \) 2. \( z = 25 - x - y \) Vi kan nu lösa för \( x \) och \( y \). Vi kan omvandla den första ekvationen till en enklare form: \[ 7x + 8y = 117.5 \] Nu kan vi använda substitutionsmetoden eller eliminationsmetoden. Vi kan också använda \( z \) för att få en tredje ekvation, men vi har inte tillräckligt med information för att lösa det direkt. Låt oss anta att \( z \) är 0 (dvs. hon arbetade bara på lördagar och söndagar). Då får vi: \[ x + y = 25 \] Nu har vi ett system av två ekvationer: 1. \( 7x + 8y = 117.5 \) 2. \( x + y = 25 \) Från den andra ekvationen kan vi uttrycka \( y \) i termer av \( x \): \[ y = 25 - x \] Sätt in detta i den första ekvationen: \[ 7x + 8(25 - x) = 117.5 \] \[ 7x + 200 - 8x = 117.5 \] \[ -x + 200 = 117.5 \] \[ -x = 117.5 - 200 \] \[ -x = -82.5 \] \[ x = 82.5 \] Detta ger oss ett orimligt resultat, så vi måste ha gjort ett misstag. Låt oss gå tillbaka till den första ekvationen och lösa den korrekt. ### d) Hur många timmar arbetade hon på söndagen? Vi kan använda den första ekvationen: \[ 140x + 160y = 2350 \] och den andra ekvationen: \[ x + y + z = 25 \] Vi kan nu lösa för \( y \) och \( z \) i termer av \( x \) och sedan substituera tillbaka. Låt oss anta att \( z \) är 0 (hon arbetade bara på lördagar och söndagar). Då får vi: \[ x + y = 25 \] Sätt in \( y = 25 - x \) i den första ekvationen: \[ 140x + 160(25 - x) = 2350 \] \[ 140x + 4000 - 160x = 2350 \] \[ -20x + 4000 = 2350 \