Hallar el valor de la constante K , para que el determinante de la matriz sea igual a \( \operatorname{det}(\mathrm{A})=96 \) \( \left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 2 \\ k & -2 & 1 \\ 0 & 6 & 0\end{array}\right) \)

Para encontrar el valor de la constante \( k \) tal que el determinante de la matriz \( A \) sea igual a 96, primero calculamos el determinante de la matriz: \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ k & -2 & 1 \\ 0 & 6 & 0 \end{pmatrix} \] El determinante de una matriz \( 3 \times 3 \) se puede calcular usando la regla de Sarrus o la expansión por cofactores. Usaremos la expansión por cofactores a lo largo de la primera fila: \[ \operatorname{det}(A) = -2 \cdot \operatorname{det}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} - 1 \cdot \operatorname{det}\begin{pmatrix} k & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \operatorname{det}\begin{pmatrix} k & -2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes de las matrices \( 2 \times 2 \): 1. Para \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} \): \[ \operatorname{det}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = (-2)(0) - (1)(6) = -6 \] 2. Para \( \begin{pmatrix} k & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \): \[ \operatorname{det}\begin{pmatrix} k & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = (k)(0) - (1)(0) = 0 \] 3. Para \( \begin{pmatrix} k & -2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \): \[ \operatorname{det}\begin{pmatrix} k & -2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = (k)(6) - (-2)(0) = 6k \] Sustituyendo estos resultados en la expresión del determinante: \[ \operatorname{det}(A) = -2(-6) - 1(0) + 2(6k) = 12 + 12k \] Queremos que este determinante sea igual a 96: \[ 12 + 12k = 96 \] Restamos 12 de ambos lados: \[ 12k = 96 - 12 \] \[ 12k = 84 \] Dividimos entre 12: \[ k = \frac{84}{12} = 7 \] Por lo tanto, el valor de la constante \( k \) es: \[ \boxed{7} \]