4-Aplicar el teorema de Ruffini f) \( \left(\frac{3}{4} x^{4}+\frac{1}{4} x^{3}-x^{2}+x\right) \cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)= \)

Para aplicar el teorema de Ruffini, primero necesitamos identificar el polinomio que vamos a dividir. En este caso, el polinomio es \( f(x) = \frac{3}{4} x^{4} + \frac{1}{4} x^{3} - x^{2} + x \) y vamos a dividirlo por \( x - \frac{1}{2} \). El teorema de Ruffini se utiliza para dividir un polinomio por un binomio de la forma \( x - r \). En este caso, \( r = \frac{1}{2} \). ### Paso 1: Escribir los coeficientes del polinomio Los coeficientes de \( f(x) \) son: - \( a_4 = \frac{3}{4} \) (coeficiente de \( x^4 \)) - \( a_3 = \frac{1}{4} \) (coeficiente de \( x^3 \)) - \( a_2 = -1 \) (coeficiente de \( x^2 \)) - \( a_1 = 1 \) (coeficiente de \( x^1 \)) - \( a_0 = 0 \) (no hay término constante) Por lo tanto, los coeficientes son: \( \left[\frac{3}{4}, \frac{1}{4}, -1, 1, 0\right] \). ### Paso 2: Aplicar el teorema de Ruffini Colocamos \( r = \frac{1}{2} \) en la parte izquierda y los coeficientes en la parte derecha: ``` ______________________ \frac{1}{2} | \frac{3}{4} \quad \frac{1}{4} \quad -1 \quad 1 \quad 0 ``` Ahora, realizamos la división: 1. Bajamos el primer coeficiente: - \( \frac{3}{4} \) 2. Multiplicamos \( \frac{3}{4} \) por \( \frac{1}{2} \) y sumamos al siguiente coeficiente: - \( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \) - \( \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \) 3. Repetimos el proceso: - Multiplicamos \( \frac{5}{8} \) por \( \frac{1}{2} \): - \( \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{16} \) - Sumamos al siguiente coeficiente: - \( -1 + \frac{5}{16} = -\frac{16}{16} + \frac{5}{16} = -\frac{11}{16} \) 4. Continuamos: - Multiplicamos \( -\frac{11}{16} \) por \( \frac{1}{2} \): - \( -\frac{11}{16} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{11}{32} \) - Sumamos al siguiente coeficiente: - \( 1 - \frac{11}{32} = \frac{32}{32} - \frac{11}{32} = \frac{21}{32} \) 5. Finalmente: - Multiplicamos \( \frac{21}{32} \) por \( \frac{1}{2} \): - \( \frac{21}{32} \cdot \frac{1}{2} = \frac{21}{64} \) - Sumamos al siguiente coeficiente: - \( 0 + \frac{21}{64} = \frac{21}{64} \) ### Paso 3: Resultados Los resultados de la división son los siguientes: - Coeficientes del cociente: \( \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, -\frac{11}{16}, \frac{21}{32} \) - Resto: \( \frac{21}{64} \) Por lo tanto, el resultado de la división es: \[ \frac{3}{4} x^3 + \frac{5}{8} x^2 - \frac{11}{16} x + \frac{21}{32} + \frac{\frac{21}{64}}{x - \frac{1}{2}} \] Esto significa que: \[ \left(\frac{3}{4} x^{4}+\frac{1}{4} x^{3}-x^{2}+x\right) \cdot\left(x-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4} x^3 + \frac{5}{8} x^2 - \frac{11}{16} x + \frac{21}{32} + \frac{21}{64} \]