Cox Curry
01/07/2024 · High School
Determina i valori di \( b \) per i quali la soluzione dell'equazione \( b x-2-x=(1-b) x \) è un nume- ro positivo minore di 1
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Step-by-step Solution
Iniziamo a risolvere l'equazione data:
\[
b x - 2 - x = (1 - b) x
\]
Riorganizziamo l'equazione:
\[
b x - x - (1 - b) x = 2
\]
Semplificando i termini a sinistra, otteniamo:
\[
(b - 1 - 1 + b)x = 2
\]
Questo si semplifica a:
\[
(2b - 2)x = 2
\]
Dividiamo entrambi i lati per \( 2 \):
\[
(b - 1)x = 1
\]
Da qui, possiamo isolare \( x \):
\[
x = \frac{1}{b - 1}
\]
Ora, vogliamo che \( x \) sia un numero positivo minore di 1. Quindi, dobbiamo soddisfare le seguenti condizioni:
1. \( x > 0 \)
2. \( x < 1 \)
Iniziamo con la prima condizione:
\[
\frac{1}{b - 1} > 0
\]
Questo implica che \( b - 1 > 0 \), quindi:
\[
b > 1
\]
Passiamo ora alla seconda condizione:
\[
\frac{1}{b - 1} < 1
\]
Moltiplicando entrambi i lati per \( b - 1 \) (notando che \( b - 1 > 0 \)), otteniamo:
\[
1 < b - 1
\]
Da cui segue:
\[
b > 2
\]
Riassumendo, le condizioni che abbiamo trovato sono:
1. \( b > 1 \)
2. \( b > 2 \)
La condizione più restrittiva è \( b > 2 \).
Pertanto, i valori di \( b \) per i quali la soluzione dell'equazione è un numero positivo minore di 1 sono:
\[
\boxed{(2, +\infty)}
\]
Quick Answer
I valori di \( b \) sono \( (2, +\infty) \).
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