Résoudre dans \( \mathbb{C} \) les systèmes suivants. \( \begin{array}{l}\text { 1. }\left\{\begin{array}{l}z+z^{\prime}=1+4 i \\ z-z^{\prime}=1-2 i\end{array}\right. \\ \text { 2. }\left\{\begin{array}{l}2 z+3 z^{\prime}=15+7 i \\ z-z^{\prime}=-2+i\end{array}\right.\end{array} \)

Pour résoudre les systèmes d'équations complexes donnés, nous allons procéder étape par étape. ### Système 1 Nous avons le système suivant : \[ \begin{cases} z + z' = 1 + 4i \\ z - z' = 1 - 2i \end{cases} \] Pour résoudre ce système, nous allons additionner et soustraire les deux équations. 1. **Additionner les deux équations :** \[ (z + z') + (z - z') = (1 + 4i) + (1 - 2i) \] Cela simplifie à : \[ 2z = 2 + 2i \] En divisant par 2, nous obtenons : \[ z = 1 + i \] 2. **Substituer \( z \) dans l'une des équations pour trouver \( z' \) :** Utilisons la première équation : \[ (1 + i) + z' = 1 + 4i \] En isolant \( z' \), nous avons : \[ z' = (1 + 4i) - (1 + i) = 3i \] Ainsi, la solution du premier système est : \[ (z, z') = (1 + i, 3i) \] ### Système 2 Nous avons le système suivant : \[ \begin{cases} 2z + 3z' = 15 + 7i \\ z - z' = -2 + i \end{cases} \] 1. **Isoler \( z' \) dans la deuxième équation :** \[ z' = z + 2 - i \] 2. **Substituer \( z' \) dans la première équation :** Substituons \( z' \) dans la première équation : \[ 2z + 3(z + 2 - i) = 15 + 7i \] Cela donne : \[ 2z + 3z + 6 - 3i = 15 + 7i \] En combinant les termes, nous avons : \[ 5z + 6 - 3i = 15 + 7i \] 3. **Isoler \( z \) :** En réarrangeant, nous obtenons : \[ 5z = 15 + 7i + 3i - 6 \] Ce qui simplifie à : \[ 5z = 9 + 10i \] En divisant par 5, nous avons : \[ z = \frac{9}{5} + 2i \] 4. **Substituer \( z \) pour trouver \( z' \) :** Utilisons l'expression de \( z' \) : \[ z' = \left(\frac{9}{5} + 2i\right) + 2 - i \] Cela donne : \[ z' = \frac{9}{5} + 2 + (2i - i) = \frac{9}{5} + \frac{10}{5} + i = \frac{19}{5} + i \] Ainsi, la solution du deuxième système est : \[ (z, z') = \left(\frac{9}{5} + 2i, \frac{19}{5} + i\right) \] ### Résumé des solutions 1. Pour le premier système : \( (z, z') = (1 + i, 3i) \) 2. Pour le deuxième système : \( (z, z') = \left(\frac{9}{5} + 2i, \frac{19}{5} + i\right) \)