El perimetro de un rectángulo es 24 cm . Si el lado mayor se disminuye en 1 cm y el lado menor se duplica, el nuevo rectángulo tiene un perimetro de 30 cm . ¿Cuáles son las medidas del prime rectángulo y cuáles son las medidas del segundo rectángulo?

Para resolver este problema, primero vamos a establecer las variables para las medidas del primer rectángulo. Supongamos que el lado mayor del primer rectángulo es \( x \) cm y el lado menor es \( y \) cm. Dado que el perímetro de un rectángulo se calcula sumando las longitudes de sus cuatro lados, podemos establecer la siguiente ecuación para el primer rectángulo: \[ 2x + 2y = 24 \] Ahora, según la información proporcionada, si el lado mayor se disminuye en 1 cm y el lado menor se duplica, el nuevo rectángulo tiene un perímetro de 30 cm. Esto nos lleva a la siguiente ecuación: \[ 2(x-1) + 2(2y) = 30 \] Ahora, podemos resolver este sistema de ecuaciones para encontrar las medidas del primer rectángulo y del segundo rectángulo. Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}2x+2y=24\\2\left(x-1\right)+2\times 2y=30\end{array}\right.\) - step1: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}2x+2y=24\\2\left(x-1\right)+4y=30\end{array}\right.\) - step2: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=12-y\\2\left(x-1\right)+4y=30\end{array}\right.\) - step3: Substitute the value of \(x:\) \(2\left(12-y-1\right)+4y=30\) - step4: Simplify: \(22+2y=30\) - step5: Move the constant to the right side: \(2y=30-22\) - step6: Subtract the numbers: \(2y=8\) - step7: Divide both sides: \(\frac{2y}{2}=\frac{8}{2}\) - step8: Divide the numbers: \(y=4\) - step9: Substitute the value of \(y:\) \(x=12-4\) - step10: Simplify: \(x=8\) - step11: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x=8\\y=4\end{array}\right.\) - step12: Check the solution: \(\left\{ \begin{array}{l}x=8\\y=4\end{array}\right.\) - step13: Rewrite: \(\left(x,y\right) = \left(8,4\right)\) Las soluciones al sistema de ecuaciones son \( x = 8 \) cm y \( y = 4 \) cm. Por lo tanto, las medidas del primer rectángulo son 8 cm por 4 cm. Para encontrar las medidas del segundo rectángulo, recordemos que el lado mayor se disminuye en 1 cm y el lado menor se duplica. Por lo tanto, las medidas del segundo rectángulo son 7 cm por 8 cm.