Comparando detenidamente los números 4178 y 1786 , se observa que estos incluyen el bloque de dígitos 178 (resaltado en color azul); mientras que 5187 , 1728 y 8717 no lo incluyen. ¿Cuántos números entre 1000 y 10000 si incluyen el bloque de dígitos 178 ?

4. Un calif desv sobr

Differentiate \( g(x)=\frac{5 x-1}{8 x+9}+x \)

5. Aplique o Princípio de Indução Finita para demonstrar que para \( n \geq 1 \) vale: a) \( 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \) b) \( 1+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^{2} \) c) \( 1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\cdots+n \cdot(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \) d) \( 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}=\frac{n\left(4 n^{2}-1\right)}{3} \)

Gas prices have varied over the last month. You have notated each time you filled up your car and the price of gas at the time you filled up. You want to calculate the average price for a gallon of gas. You first bought 9.4 gallons for \( \$ 3.69 \) per gallon, then you bought 9.8 gallons for \( \$ 3.49 \) per gallon, then 9.6 gallons for \( \$ 3.09 \) per gallon, and finally 9.5 gallons for \( \$ 2.99 \) per gallon. Calculate the weighted average in dollars per gallon. Round to the nearest cent. \( \$ \)

\( \int x ^ { 2 } \sqrt { x ^ { 3 } + 1 } d x , \quad u = x ^ { 3 } + 1 \)