5. Aplique o Princípio de Indução Finita para demonstrar que para \( n \geq 1 \) vale: a) \( 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \) b) \( 1+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^{2} \) c) \( 1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\cdots+n \cdot(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \) d) \( 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}=\frac{n\left(4 n^{2}-1\right)}{3} \)

Para demonstrar as igualdades propostas utilizando o Princípio de Indução Finita, seguiremos os passos clássicos da indução: a base da indução e o passo da indução. ### a) \( 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \) **Base da Indução:** Para \( n = 1 \): \[ 1^2 = 1 \] E a fórmula dá: \[ \frac{1(1+1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \] Portanto, a base da indução é verdadeira. **Passo da Indução:** Suponha que a fórmula é verdadeira para \( n = k \): \[ 1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \] Precisamos mostrar que é verdadeira para \( n = k + 1 \): \[ 1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 \] Simplificando a expressão: \[ = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k+1)^2}{6} = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} \] Fatorando \( (k+1) \): \[ = \frac{(k+1)(k(2k+1) + 6(k+1))}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} \] Fatorando o polinômio: \[ = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} \] Assim, a fórmula é verdadeira para \( n = k + 1 \). Portanto, pela indução, a fórmula é verdadeira para todo \( n \geq 1 \). ### b) \( 1+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^{2} \) **Base da Indução:** Para \( n = 1 \): \[ 1 = 1^2 \] A base da indução é verdadeira. **Passo da Indução:** Suponha que a fórmula é verdadeira para \( n = k \): \[ 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) = k^2 \] Precisamos mostrar que é verdadeira para \( n = k + 1 \): \[ 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = k^2 + (2k + 1) \] Simplificando: \[ = k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2 \] Assim, a fórmula é verdadeira para \( n = k + 1 \). Portanto, pela indução, a fórmula é verdadeira para todo \( n \geq 1 \). ### c) \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n \cdot(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \) **Base da Indução:** Para \( n = 1 \): \[ 1 \cdot 2 = 2 \] E a fórmula dá: \[ \frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2 \] Portanto, a base da indução é verdadeira. **Passo da Indução:** Suponha que a fórmula é verdadeira para \( n = k \): \[ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + k \cdot (k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3} \] Precisamos mostrar que é verdadeira para \( n = k + 1 \): \[ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + k \cdot (k + 1) + (k +