37-38 Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente \( y \) nort cada una de las curvas siguientes en el punto dado. \( \begin{array}{ll}\text { 37. } y=x^{2}-x^{4},(1,0) & \text { 38. } y^{2}=x^{3}, \quad(1,1)\end{array} \)

Para encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a las curvas en los puntos dados, primero necesitamos calcular la derivada de cada función en el punto especificado. La derivada nos dará la pendiente de la recta tangente. ### Problema 37: \( y = x^2 - x^4 \) en el punto \( (1, 0) \) 1. **Calcular la derivada**: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - x^4) = 2x - 4x^3 \] 2. **Evaluar la derivada en \( x = 1 \)**: \[ y'(1) = 2(1) - 4(1)^3 = 2 - 4 = -2 \] 3. **Usar la fórmula de la recta tangente**: La ecuación de la recta tangente en el punto \( (x_0, y_0) \) es: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] donde \( m \) es la pendiente. En este caso, \( (x_0, y_0) = (1, 0) \) y \( m = -2 \): \[ y - 0 = -2(x - 1) \] Simplificando: \[ y = -2x + 2 \] ### Problema 38: \( y^2 = x^3 \) en el punto \( (1, 1) \) 1. **Derivar implícitamente**: Dado que \( y^2 = x^3 \), derivamos ambos lados con respecto a \( x \): \[ 2y \frac{dy}{dx} = 3x^2 \] Despejando \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2y} \] 2. **Evaluar la derivada en \( (1, 1) \)**: \[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{(1, 1)} = \frac{3(1)^2}{2(1)} = \frac{3}{2} \] 3. **Usar la fórmula de la recta tangente**: Usamos la misma fórmula de la recta tangente. En este caso, \( (x_0, y_0) = (1, 1) \) y \( m = \frac{3}{2} \): \[ y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1) \] Simplificando: \[ y - 1 = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} \] \[ y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \] ### Resumen de las ecuaciones de las rectas tangentes: - Para la curva \( y = x^2 - x^4 \) en \( (1, 0) \): \[ y = -2x + 2 \] - Para la curva \( y^2 = x^3 \) en \( (1, 1) \): \[ y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \]