Na equação: \( 3 x^{2}+2 x+c^{2}=0 \), sendo o coeficiente \( c \) um número negativo, o valor de \( \underline{c} \) para que o produto entre as raízes dessa equação seja 48 é: \( \begin{array}{lllll}\text { a) }-11 & \text { b) }-8 & \text { c) }-9 & \text { d) }-14 & \text { e) }-12\end{array} \)

Para resolver a equação \( 3x^2 + 2x + c^2 = 0 \) e encontrar o valor de \( c \) tal que o produto das raízes seja 48, utilizamos a relação entre os coeficientes da equação quadrática e suas raízes. Para uma equação do tipo \( ax^2 + bx + c = 0 \), o produto das raízes \( r_1 \) e \( r_2 \) é dado por: \[ r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a} \] No nosso caso, temos: - \( a = 3 \) - \( b = 2 \) - \( c = c^2 \) Portanto, o produto das raízes é: \[ r_1 \cdot r_2 = \frac{c^2}{3} \] Queremos que esse produto seja igual a 48: \[ \frac{c^2}{3} = 48 \] Multiplicando ambos os lados da equação por 3, obtemos: \[ c^2 = 144 \] Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados: \[ c = 12 \quad \text{ou} \quad c = -12 \] Como o problema especifica que \( c \) deve ser um número negativo, temos: \[ c = -12 \] Portanto, o valor de \( c \) que satisfaz as condições do problema é: \[ \boxed{-12} \]