Un cuerpo que pesa 1000 N se desliza hacia abajo con una velocidad uniforme de \( 1 \mathrm{~ms} / \) a lo largo de una Plano inclinado lubricado que forma un ángulo de \( 30^{\circ} \) con la horizontal. La viscosidad de El lubricante es de \( 0,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{ms} \) y el área de contacto del cuerpo es de \( 0,25 \mathrm{~m}^{2} \). determinar el Espesor del lubricante suponiendo una distribución de velocidad lineal.

Para resolver este problema, utilizaremos la ley de viscosidad de Newton, que establece que la fuerza de fricción viscosa \( F \) es proporcional al gradiente de velocidad \( \frac{du}{dy} \) y al área de contacto \( A \): \[ F = \eta A \frac{du}{dy} \] donde: - \( F \) es la fuerza de fricción viscosa, - \( \eta \) es la viscosidad del lubricante, - \( A \) es el área de contacto, - \( \frac{du}{dy} \) es el gradiente de velocidad. ### Datos del problema: - Peso del cuerpo \( W = 1000 \, \text{N} \) - Velocidad \( v = 1 \, \text{m/s} \) - Ángulo del plano inclinado \( \theta = 30^\circ \) - Viscosidad \( \eta = 0.1 \, \text{kg/(m·s)} \) - Área de contacto \( A = 0.25 \, \text{m}^2 \) ### Paso 1: Calcular la fuerza de fricción viscosa Dado que el cuerpo se desliza con velocidad uniforme, la fuerza de fricción viscosa \( F \) es igual al componente del peso que actúa a lo largo del plano inclinado. Este componente se calcula como: \[ F = W \sin(\theta) \] Sustituyendo los valores: \[ F = 1000 \, \text{N} \cdot \sin(30^\circ) = 1000 \, \text{N} \cdot 0.5 = 500 \, \text{N} \] ### Paso 2: Relacionar la fuerza de fricción con el gradiente de velocidad La fuerza de fricción también se puede expresar como: \[ F = \eta A \frac{du}{dy} \] Donde \( \frac{du}{dy} \) es el gradiente de velocidad. Para una distribución de velocidad lineal, podemos suponer que la velocidad cambia de \( 0 \) en la superficie del lubricante a \( v \) en la parte superior del lubricante a una distancia \( h \) (el espesor del lubricante): \[ \frac{du}{dy} = \frac{v - 0}{h} = \frac{v}{h} \] Sustituyendo esto en la ecuación de la fuerza de fricción: \[ F = \eta A \frac{v}{h} \] ### Paso 3: Despejar el espesor \( h \) Igualamos las dos expresiones para \( F \): \[ 500 \, \text{N} = 0.1 \, \text{kg/(m·s)} \cdot 0.25 \, \text{m}^2 \cdot \frac{1 \, \text{m/s}}{h} \] Resolviendo para \( h \): \[ 500 = 0.1 \cdot 0.25 \cdot \frac{1}{h} \] \[ 500 = 0.025 \cdot \frac{1}{h} \] Multiplicamos ambos lados por \( h \): \[ 500h = 0.025 \] Despejamos \( h \): \[ h = \frac{0.025}{500} = 0.00005 \, \text{m} = 0.05 \, \text{cm} \] ### Resultado El espesor del lubricante es \( 0.05 \, \text{cm} \) o \( 0.0005 \, \text{m} \).