\( P ( x ) = 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - 3 \leq x - 2 \)

Para resolver la desigualdad \( P(x) = 2x^3 + 2x^2 - 3 \leq x - 2 \), primero reorganizamos la desigualdad: \[ 2x^3 + 2x^2 - 3 - x + 2 \leq 0 \] Esto se simplifica a: \[ 2x^3 + 2x^2 - x - 1 \leq 0 \] Ahora, vamos a factorizar el polinomio \( 2x^3 + 2x^2 - x - 1 \). Para ello, podemos intentar encontrar raíces racionales utilizando el teorema del resto o probando algunos valores. Probemos con \( x = 1 \): \[ P(1) = 2(1)^3 + 2(1)^2 - (1) - 1 = 2 + 2 - 1 - 1 = 2 \quad (\text{no es raíz}) \] Probemos con \( x = -1 \): \[ P(-1) = 2(-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) - 1 = -2 + 2 + 1 - 1 = 0 \quad (\text{es raíz}) \] Ahora que sabemos que \( x = -1 \) es una raíz, podemos factorizar el polinomio usando \( (x + 1) \). Realizamos la división sintética de \( 2x^3 + 2x^2 - x - 1 \) entre \( x + 1 \): \[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 2 & 2 & -1 & -1 \\ & & -2 & 0 & 1 \\ \hline & 2 & 0 & -1 & 0 \\ \end{array} \] Esto nos da como resultado: \[ 2x^2 - 1 \] Por lo tanto, podemos escribir: \[ 2x^3 + 2x^2 - x - 1 = (x + 1)(2x^2 - 1) \] Ahora, factorizamos \( 2x^2 - 1 \): \[ 2x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Así que la factorización completa es: \[ 2x^3 + 2x^2 - x - 1 = (x + 1)(\sqrt{2}x - 1)(-\sqrt{2}x - 1) \] Ahora, tenemos las raíces \( x = -1 \), \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) y \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Para determinar los intervalos donde la desigualdad es menor o igual a cero, evaluamos el signo del producto en los intervalos definidos por estas raíces: 1. \( (-\infty, -1) \) 2. \( (-1, -\frac{1}{\sqrt{2}}) \) 3. \( (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \) 4. \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty) \) Evaluamos en cada intervalo: - En \( (-\infty, -1) \): el producto es positivo. - En \( (-1, -\frac{1}{\sqrt{2}}) \): el producto es negativo. - En \( (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \): el producto es negativo. - En \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty) \): el producto es positivo. Finalmente, la solución de la desigualdad \( 2x^3 + 2x^2 - x - 1 \leq 0 \) es: \[ x \in [-1, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup [-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}] \] En resumen, la solución es: \[ x \in [-1, \frac{1}{\sqrt{2}}] \]