Los vértioes de un tuängub son bs puntos \( A(1,-2), B(4,-2) \) y \( C(4,2) \). Piobarque elaABC es rectängut hallar su área.

Para determinar si el triángulo \( ABC \) es rectángulo y calcular su área, primero identificamos las coordenadas de los vértices: - \( A(1, -2) \) - \( B(4, -2) \) - \( C(4, 2) \) Ahora, calculamos las longitudes de los lados del triángulo utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos: 1. **Distancia \( AB \)**: \[ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{(3)^2 + (0)^2} = \sqrt{9} = 3 \] 2. **Distancia \( BC \)**: \[ BC = \sqrt{(4 - 4)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(0)^2 + (4)^2} = \sqrt{16} = 4 \] 3. **Distancia \( AC \)**: \[ AC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Ahora tenemos las longitudes de los lados: - \( AB = 3 \) - \( BC = 4 \) - \( AC = 5 \) Para verificar si el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras. Un triángulo es rectángulo si el cuadrado de la longitud del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Verificamos: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] \[ 5^2 = 3^2 + 4^2 \] \[ 25 = 9 + 16 \] \[ 25 = 25 \] Como la igualdad se cumple, el triángulo \( ABC \) es rectángulo. Ahora, para calcular el área del triángulo rectángulo, utilizamos la fórmula: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \] Tomando \( AB \) como base y \( BC \) como altura: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{12}{2} = 6 \] Por lo tanto, el área del triángulo \( ABC \) es \( 6 \) unidades cuadradas.